打字猴:1.701045565e+09
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1701045568 证明 (1)设β=α〈w〉,w是U中的道路,则β(1)=w(1)∈U,从而(β,U)有意义.并且∀γ∈(β,U)可写成γ=β〈w′〉.于是γ=α〈ww′〉∈(α,U).这样(β,U)⊂(α,U).又因为同样可证得(α,U)⊂(β,U).于是(α,U)=(β,U).
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1701045570 (2)p:(α,U)→U是连续的,并且因为(α,U)是E的开集,p:E→B是开映射,所以p:(α,U)→U也是开映射.为证明它是同胚映射,只用验证p是一一对应.设β1,β2∈(α,U)且p(β1)=p(β2)=b,设β1=α〈w1〉,β2=α〈w2〉,则w1,w2都是U中从α(1)到b的道路.由于U半单连通,〈w1〉=〈w2〉,从而β1=β2.这证明了p:(α,U)→U是单一的.上面早已指出它是满的,从而确为一一对应.引理证毕.
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1701045572 现在继续证明定理5.5.
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1701045574 (三)求B的基本邻域.
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1701045576 ∀b∈B,取U是b的半单连通的开邻域,则
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1701045583 下面证明反向的包含关系.∀β∈p-1(U),则p(β,U)=U,因此存在α∈p-1(b)∩(β,U).由引理的(1),(β,U)=(α,U).从而我们已得到p-1(U)的分解式
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1701045588 对于p-1(b)中不同的元素α,α′,(α,U)与(α′,U)不相交.(否则,设β∈(α,U)∩(α′,U),则(α,U)=(β,U)=(α′,U),于是p:(α,U)→U把α,α′都映到b,与引理的(2)矛盾.)因此每个开集(α,U)确是p-1(U)的道路分支.引理的(2)已说明p:(α,U)→U是同胚,∀α∈p-1(b).这样U符合基本邻域的条件.
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1701045591 (四)为说明p:E→B是复叠映射,只须再验证E是道路连通的.记α0是b0处的点道路所在的道路类.我们来证明,∀α∈E,存在E中道路连结α0和α.设α=〈a〉.我们用表示B中如下规定的道路:
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1701045594 ∀t∈I.
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1701045599 作映射为于是
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1701045614 验证的连续性,为此要对∀(β,U)∈B,证明是I的开集.由于则由a的连续性,可取δ>0,使得当|r-s|<δ时,道路在U中.于是从而这样,s是的内点.由s的任意性,得出确是开集.这样,确是连结α0和α的道路.
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