打字猴:1.701045565e+09

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1701045568 证明　（1）设β＝α〈w〉，w是U中的道路，则β（1）＝w（1）∈U，从而（β，U）有意义．并且∀γ∈（β，U）可写成γ＝β〈w′〉．于是γ＝α〈ww′〉∈（α，U）．这样（β，U）⊂（α，U）．又因为同样可证得（α，U）⊂（β，U）．于是（α，U）＝（β，U）．

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1701045570 （2）p：（α，U）→U是连续的，并且因为（α，U）是E的开集，p：E→B是开映射，所以p：（α，U）→U也是开映射．为证明它是同胚映射，只用验证p是一一对应．设β1，β2∈（α，U）且p（β1）＝p（β2）＝b，设β1＝α〈w1〉，β2＝α〈w2〉，则w1，w2都是U中从α（1）到b的道路．由于U半单连通，〈w1〉＝〈w2〉，从而β1＝β2．这证明了p：（α，U）→U是单一的．上面早已指出它是满的，从而确为一一对应．引理证毕．

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1701045572 现在继续证明定理5.5．

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1701045574 （三）求B的基本邻域．

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1701045576 ∀b∈B，取U是b的半单连通的开邻域，则

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1701045583 下面证明反向的包含关系．∀β∈p-1（U），则p（β，U）＝U，因此存在α∈p-1（b）∩（β，U）．由引理的（1），（β，U）＝（α，U）．从而我们已得到p-1（U）的分解式

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1701045588 对于p-1（b）中不同的元素α，α′，（α，U）与（α′，U）不相交．（否则，设β∈（α，U）∩（α′，U），则（α，U）＝（β，U）＝（α′，U），于是p：（α，U）→U把α，α′都映到b，与引理的（2）矛盾．）因此每个开集（α，U）确是p-1（U）的道路分支．引理的（2）已说明p：（α，U）→U是同胚，∀α∈p-1（b）．这样U符合基本邻域的条件．

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