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验证的连续性，为此要对∀（β，U）∈B，证明是I的开集．由于则由a的连续性，可取δ＞0，使得当｜r－s｜＜δ时，道路在U中．于是从而这样，s是的内点．由s的任意性，得出确是开集．这样，确是连结α0和α的道路．
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（五）最后来证明E单连通．由于已证明p：E→B是复叠映射，只用验证：当B中b0处的闭路a在α0处的提升若是闭路，则〈a〉＝α0．事实上，按（四）的方式构造的就是a的提升（它是唯一的！）．是闭路，就是 ▎
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对于一般复叠空间的存在性，B的局部半单连通也是充分条件．一般的复叠空间存在定理叙述如下：
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定理5.5a 如果B道路连通、局部道路连通和局部半单连通，则对∀b∈B和π1（B，b）的任一子群G，存在复叠映射p：E→B以及p-1（b）的一点e，使得He＝G．
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读者可以仿照定理5.5的证明方法，写出这个一般定理的证明，这里省略了．它也可作为定理5.5的推论，不过要用到下面的命题．
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命题5.10 若B有泛复叠空间，则对∀b∈B和π1（B，b）的任一子群G，存在复叠映射p：E→B以及p-1（b）的一点e，使得He＝G．
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证明 论证的一部分已在§3的习题中出现．
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设是泛复叠映射．取定记是定理5.4证明中规定的同构，记是诱导的映射，则p是复叠映射（见§3习题3）．设e是所在的等价类，则剩下只须证明He＝G了．
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∀〈a〉∈π1（B，b），记设是中以为起点的道路，且则记为投射，则是a（关于p）在e处的提升．于是
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