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验证的连续性,为此要对∀(β,U)∈B,证明是I的开集.由于则由a的连续性,可取δ>0,使得当|r-s|<δ时,道路在U中.于是从而这样,s是的内点.由s的任意性,得出确是开集.这样,确是连结α0和α的道路.
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(五)最后来证明E单连通.由于已证明p:E→B是复叠映射,只用验证:当B中b0处的闭路a在α0处的提升若是闭路,则〈a〉=α0.事实上,按(四)的方式构造的就是a的提升(它是唯一的!).是闭路,就是 ▎
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对于一般复叠空间的存在性,B的局部半单连通也是充分条件.一般的复叠空间存在定理叙述如下:
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定理5.5a 如果B道路连通、局部道路连通和局部半单连通,则对∀b∈B和π1(B,b)的任一子群G,存在复叠映射p:E→B以及p-1(b)的一点e,使得He=G.
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读者可以仿照定理5.5的证明方法,写出这个一般定理的证明,这里省略了.它也可作为定理5.5的推论,不过要用到下面的命题.
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命题5.10 若B有泛复叠空间,则对∀b∈B和π1(B,b)的任一子群G,存在复叠映射p:E→B以及p-1(b)的一点e,使得He=G.
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证明 论证的一部分已在§3的习题中出现.
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设是泛复叠映射.取定记是定理5.4证明中规定的同构,记是诱导的映射,则p是复叠映射(见§3习题3).设e是所在的等价类,则剩下只须证明He=G了.
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∀〈a〉∈π1(B,b),记设是中以为起点的道路,且则记为投射,则是a(关于p)在e处的提升.于是
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