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本节从单纯复合形的组合结构出发，构造它的同调群．复形的组合结构包括两个要素：它所包含的各维单形的个数和这些单形的连接关系．链群和边缘同态分别反映了这两个要素，它们是建立同调群的关键概念．单形的定向概念有助于更好地刻画单形间的连接关系，它是建立边缘同态的基础．
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2.1 单形的定向
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单形的定向是从向量空间的定向概念引伸来的．向量空间的定向是用基向量组确定的．n维向量空间的有序的n个线性无关向量称为一个基向量组，它确定一个定向．两个基向量组的过渡矩阵的行列式如果是正数，则它们确定同一定向，是负数则确定相反的定向，因此n＞0时，n维向量空间有两个定向．
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设是一个n维单形，n＞0．记L是与所在的超平面平行的n维向量空间．如果取定顶点的一个排列a0，a1，…，an，则由
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a1－a0，a2－a0，…，an－a0
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确定L的一个基向量组，从而得到L的一个定向．这个定向依赖于顶点的排列．不难看出，当原排列作一次对换时，则新排列得到的定向与原定向相反．于是，当两个排列相差偶置换时，它们确定L的同一定向，相差奇置换时确定相反的定向．把顶点的全部排列（共（n＋1）！个）分为两大类：相差偶置换的排列属同一类，相差奇置换的排列属不同类．于是，每一类确定L的一个定向．基于以上几何背景，我们直接称这两个排列类为n维单形的两个定向．称取定了定向的单形为定向单形．于是顶点的任一排列a0，a1，…，an确定的一个定向，把相应的定向单形记作
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a0a1…an．
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图6-9
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图6-9表出1维和2维定向单形的情形．左图是1维单形（a0，a1），它的两个定向单形为a0a1和a1a0，分别是两条有向线段．右图是2维单形（a0，a1，a2），它的两个定向单形分别是a0a1a2＝a1a2a0＝a2a0a1和a0a2a1＝a2a1a0＝a1a0a2，两个定向分别是所在平面的逆时针转向和顺时针转向．
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以上讨论对0维单形不适合，因为0维单形只有一个顶点，也就只有一个排列．为了叙述上的统一，也把0维单形称为0维定向单形．
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本书中常用小写英文字母或希腊字母（下面不加横线）命名定向单形，如定向单形s，定向单形σ等．对定向单形也讨论面的关系，也用记号“≺”．事实上对定向单形，面的关系内涵更丰富了，以后将详细论述．
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2.2 链群
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设K是一个复形，0≤q≤dimK．设K有αq个q维单形，并记Tq（K）是K的所有q维定向单形的集合．于是，当q＞0时，
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＃Tq（K）＝2αq， ＃T0（K）＝α0．
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这里＃号表示集合含元素的个数或势．
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定义6.5 定义在Tq（K）上的一个整值函数，如果在相反定向单形上取值为相反数，则称为K上的一个q维链．K的所有q维链的集合在函数加法运算下构成的交换群称为K的q维链群，记作Cq（K）．
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设s为K的一个q维定向单形，则s决定K上的一个q维链如下：它在s上取值为1，在s的相反定向单形上取值为－1，其他定向单形上取值0．这个链仍记作s．于是若s′是s的相反定向单形，则看作链，s′＝－s．以后我们经常把定向单形s的相反定向单形记作－s．
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q＝0时，K的每个顶点决定一个定向单形，因此按定义，C0（K）是由K的顶点（看作0维链）集合生成的自由交换群，秩为α0．
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