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这里＃号表示集合含元素的个数或势．
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定义6.5 定义在Tq（K）上的一个整值函数，如果在相反定向单形上取值为相反数，则称为K上的一个q维链．K的所有q维链的集合在函数加法运算下构成的交换群称为K的q维链群，记作Cq（K）．
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设s为K的一个q维定向单形，则s决定K上的一个q维链如下：它在s上取值为1，在s的相反定向单形上取值为－1，其他定向单形上取值0．这个链仍记作s．于是若s′是s的相反定向单形，则看作链，s′＝－s．以后我们经常把定向单形s的相反定向单形记作－s．
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q＝0时，K的每个顶点决定一个定向单形，因此按定义，C0（K）是由K的顶点（看作0维链）集合生成的自由交换群，秩为α0．
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在q＞0时，对K的每个q维单形取定一个定向，得αq个q维定向单形，记作从定义容易看出，两个q维链c和c′相同c（si）＝c′（si），i＝1，…，αq．并且如果记ni＝c（si），则（这里si看作链）．于是，∀c∈Cq（K）有唯一的方式写成链的线性组合，也就是说自由生成Cq（K），Cq（K）是秩为αq的自由交换群．习惯上，常把链看作定向单形的线性组合，当时，把ni称为链c的系数．
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为了叙述上的方便，我们扩大链群的定义范围，规定当q＜0或q＞dimK时，Cq（K）＝0．
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2.3 边缘同态
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复形中单形的连接关系就是“面”的关系，而相邻维数的单形间的“面”关系又是关键．有了单形定向的概念，就能更好地来刻画这种关系．
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设s是q维定向单形，t是q－1维定向单形，并且是s的面．设a是s比t多的那个顶点．取t的顶点的一个代表其定向的排列a0a1…aq-1则定向单形aa0…aq-1与该排列的选择无关，记at＝aa0…aq-1．如果s＝at，就称t是s的顺向面，如果s＝－at，就称t是s的逆向面．
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例如，a1是a0a1的顺向面，而a0是a0a1的逆向面；对于2维定向单形a0a1a2来说，a1a2，a0a1和a2a0是它的顺向面，a2a1，a1a0和a0a2是逆向面．
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对于任给s∈Tq（K），t∈Tq-1（K），规定s与t的关联系数［s；t］为
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显然，［－s；t］＝－［s；t］＝［s；－t］．
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例如设s＝a0a1…aq，（表示去掉ai），则s＝（－1）iait，因此是s的顺向面．
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关联系数是建立边缘同态的基础，下面的引理是建立边缘同态以及别的许多链群间的同态的工具，它完全是代数的，证明留作习题．
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引理 设G是交换群，φ0：Tq（K）→G是一个对应，使得φ0（－s）＝－φ0（s），∀s∈Tq（K），则φ0能唯一地扩张为同态φ：Cq（K）→G． ▎
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设0＜q≤dimK，s∈Tq（K）．规定∂qs：Tq-1→Z为
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∂qs（t）＝［s；t］，∀t∈Tq-1（K）．
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于是∂qs（－t）＝［s；－t］＝－［s；t］＝－∂qs（t），按定义，∂qs是K上的q－1维链，即称为s的边缘链．
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不难看出，∂qs就是s的顺向面（作为链）之和：