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这里#号表示集合含元素的个数或势.
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定义6.5 定义在Tq(K)上的一个整值函数,如果在相反定向单形上取值为相反数,则称为K上的一个q维链.K的所有q维链的集合在函数加法运算下构成的交换群称为K的q维链群,记作Cq(K).
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设s为K的一个q维定向单形,则s决定K上的一个q维链如下:它在s上取值为1,在s的相反定向单形上取值为-1,其他定向单形上取值0.这个链仍记作s.于是若s′是s的相反定向单形,则看作链,s′=-s.以后我们经常把定向单形s的相反定向单形记作-s.
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q=0时,K的每个顶点决定一个定向单形,因此按定义,C0(K)是由K的顶点(看作0维链)集合生成的自由交换群,秩为α0.
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在q>0时,对K的每个q维单形取定一个定向,得αq个q维定向单形,记作从定义容易看出,两个q维链c和c′相同c(si)=c′(si),i=1,…,αq.并且如果记ni=c(si),则(这里si看作链).于是,∀c∈Cq(K)有唯一的方式写成链的线性组合,也就是说自由生成Cq(K),Cq(K)是秩为αq的自由交换群.习惯上,常把链看作定向单形的线性组合,当时,把ni称为链c的系数.
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为了叙述上的方便,我们扩大链群的定义范围,规定当q<0或q>dimK时,Cq(K)=0.
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2.3 边缘同态
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复形中单形的连接关系就是“面”的关系,而相邻维数的单形间的“面”关系又是关键.有了单形定向的概念,就能更好地来刻画这种关系.
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设s是q维定向单形,t是q-1维定向单形,并且是s的面.设a是s比t多的那个顶点.取t的顶点的一个代表其定向的排列a0a1…aq-1则定向单形aa0…aq-1与该排列的选择无关,记at=aa0…aq-1.如果s=at,就称t是s的顺向面,如果s=-at,就称t是s的逆向面.
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例如,a1是a0a1的顺向面,而a0是a0a1的逆向面;对于2维定向单形a0a1a2来说,a1a2,a0a1和a2a0是它的顺向面,a2a1,a1a0和a0a2是逆向面.
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对于任给s∈Tq(K),t∈Tq-1(K),规定s与t的关联系数[s;t]为
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显然,[-s;t]=-[s;t]=[s;-t].
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例如设s=a0a1…aq,(表示去掉ai),则s=(-1)iait,因此是s的顺向面.
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关联系数是建立边缘同态的基础,下面的引理是建立边缘同态以及别的许多链群间的同态的工具,它完全是代数的,证明留作习题.
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引理 设G是交换群,φ0:Tq(K)→G是一个对应,使得φ0(-s)=-φ0(s),∀s∈Tq(K),则φ0能唯一地扩张为同态φ:Cq(K)→G. ▎
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设0<q≤dimK,s∈Tq(K).规定∂qs:Tq-1→Z为
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∂qs(t)=[s;t],∀t∈Tq-1(K).
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于是∂qs(-t)=[s;-t]=-[s;t]=-∂qs(t),按定义,∂qs是K上的q-1维链,即称为s的边缘链.
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不难看出,∂qs就是s的顺向面(作为链)之和:
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