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于是∂qs（－t）＝［s；－t］＝－［s；t］＝－∂qs（t），按定义，∂qs是K上的q－1维链，即称为s的边缘链．
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不难看出，∂qs就是s的顺向面（作为链）之和：
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如果s＝a0a1…aq，则
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图6-10是1维单形和2维单形的边缘链．∂1a0a1＝a1－a0，即1维定向单形的边缘链是它的终点减起点；∂2a0a1a2＝a1a2－a0a2＋a0a1＝a0a1＋a1a2＋a2a0，这3个1维定向单形（看作有向线段）可连接成一条有向闭折线，其方向就是2维定向单形的转向．
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图6-10
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现在已规定了对应∂q：Tq（K）→Cq-1（K），并且它满足引理的条件，即∂q（－s）＝－∂qs（因为∂q（－s）（t）＝［－s；t］＝－［s；t］＝－∂qs（t），∀t∈Tq-1（K））．于是它可以唯一地扩张为Cq（K）到Cq-1（K）的同态，仍记作∂q，称为Cq（K）到Cq-1（K）的边缘同态．
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取定K的αq个定向单形它们构成Cq（K）的基．设链则因为∂q是同态，所以有
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当q≤0或q＞dimK时，规定∂q是零同态．
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定理6.1 ∀q∈Z，∂q-1∂q＝0．
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证明 只须对1＜q≤dimK的情形证明，并且只用验证∀s∈Tq（K），∂q-1∂qs＝0．
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记s＝a0a1…aq，则
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图6-11的复形K中，设2维链c＝a0a1a4＋a1a3a4＋a1a2a3．a1a4是a0a1a4的顺向面，是a1a3a4的逆向面，因此它在∂2c中不出现（即∂2c（a1a4）＝0）．同理∂2c中也没有a1a3．可算得∂2c＝a0a1＋a1a2＋a2a3＋a3a4＋a4a0，直观上看是围这3个三角形的有向闭折线，方向由三角形的转向决定，∂1（∂2c）＝0．
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图6-11
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