1701046338
（2）KerΦ是π1（｜K｜，a）的换位子群．
1701046339
1701046340
1701046341
1701046342
1701046343
若K没有2维单形，则用Van-Kampen定理可以证明，π1（｜K｜，a）由自由生成，H1（K）＝Z1（K）由自由生成．规定Φ（〈bs〉）＝〈zs〉，∀s∈T1（K），则Φ决定一个同态Φ∶π1（｜K｜，a）→H1（K）．显然（1）满足，并根据命题A.12，KerΦ是π1（｜K｜，a）的换位子群．
1701046344
1701046345
1701046346
1701046347
假设对于2维单形不多于k个的情形上述断言成立．设K有k＋1个2维单形．取记则L仍是K1的极大树，且bs，zs等概念都不改变．由归纳假设，存在同态Φ1∶π1（｜K1｜，a）→H1（K1），满足条件（1）和（2）．
1701046348
1701046349
记
1701046350
1701046351
s＝a1a2， sˈ＝a2a3， s″＝a3a1；
1701046352
1701046353
1701046354
1701046355
1701046356
1701046357
1701046358
则Φ1（〈b〉）＝〈z〉，并且（这里α是从a1出发绕一周又回到a1的道路）（图6-15），
1701046359
1701046360
1701046361
1701046362
1701046363
图6-15
1701046364
1701046365
z＝a1a2＋a2a3＋a3a1＝∂a1a2a3．
1701046366
1701046367
根据Van-Kampen定理，
1701046368
1701046369
π1（｜K｜，a）＝π1（｜K1｜，a）/［〈b〉］，
1701046370
1701046371
按照同调群的定义，若记≪z≫是〈z〉生成的H1（K1）的子群，则
1701046372
1701046373
H1（K）＝H1（K1）/≪z≫．
1701046374
1701046375
由φ1（〈b〉）＝〈z〉得到φ1（［〈b〉］）＝≪z≫．于是（用命题A.11），存在同态φ∶π1（｜K｜，a）→H1（K）使得下面图表可交换：
1701046376
1701046377
1701046378
1701046379
1701046380
（上下同态是投射），并且Kerφ是π1（｜K｜，a）的换位子群．由图表的交换性及φ1满足（1），推得φ满足（1）．
1701046381
1701046382
归纳证明完成，从而完成了命题的证明． ▎
1701046383
1701046384
3.4 Euler-Poincaré公式
1701046385
1701046386
设复形K有αq个q维单形，q＝0，1，…，dimK．
1701046387