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下章我们将说明Hq(K)是由|K|的拓扑所决定的,因此是|K|的拓扑不变量.αq由K决定,因此从表面上看,x(K)似乎由K的组合结构决定.定理说明了x(K)与剖分K的选择无关,它反映了|K|的拓扑性质.
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3.5 以交换群G为系数群的同调群
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在建立同调群的过程中,Z可以用任何交换群G代替,得到系数群为G的同调群.下面简要地回顾一下过程.
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复形K的以G为系数群的q维链群为
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Cq(K;G)∶={对应c∶Tq(K)→G|c(-s)=-c(s),
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∀s∈Tq(K)},
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加法由(c+c′)(s)=c(s)+c′(s)规定.一般地,q维定向单形s∈Tq(K)不再能看成一个q维链,但∀g∈G,gs是一个q维链,∀t∈Tq(K),
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这种形式的q维链生成了Cq(K;G).规定gs的边缘链∂q(gs)∈Cq-1(K;G)为
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∂q(gs)(t)=[s;t]g, ∀t∈Tq-1(K).
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用线性扩张得到边缘同态∂q∶Cq(K;G)→Cq-1(K;G),它也满足∂q-1∂q=0,从而得到K的以G为系数群的链复形C(K;G),并由它产生K的以G为系数群的同调群Hq(K;G).
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特别当G是域时,Cq(K;G),Zq(K;G)和Bq(K;G)都是G上的线性空间,Hq(K;G)作为Zq(K;G)对子空间Bq(K;G)的商也是线性空间.记dq=dimHq(K;G),则利用线性空间维数的加法公式也可得到相应的Euler-Poincaré公式:
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这里n=dimK.
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以后会看到,一般地dq与βq不一定相同.
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习 题
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1.若K=K1∪K2,K0=K1∩K2是r维的,则
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∀q>r+1.
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2.若K=K1∪K2,K0=K1∩K2是一个顶点,则
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∀q>0.
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3.设K=K1∪K2,K0=K1∩K2非空,试证明
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(1)若K0连通,则∀z∈Z1(K),存在zi∈Z1(Ki),i=1,2,使得z=z1+z2;
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(2)若Hq-1(K0)=0,则∀z∈Zq(K),存在zi∈Zq(Ki),i=1,2,使得z=z1+z2;
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