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则c′＝n1z，〈c〉＝n1〈z〉．这说明H1（K）是由〈z〉生成的循环群．剩下只用计算〈z〉的阶．设m〈z〉＝0，则有使得∂2c＝mz．∂2c和mz在a1a2的值分别为n1和0，因此n1＝0．同理可得n2＝…＝n6＝0，即c＝0，从而m＝0．于是〈z〉是0阶的，
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图6-17
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例4 设K是环面的一个剖分（图6-17）．如图中所示，取定2维单形的定向，并记作σi（i＝1，…，18）．
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Hq（K）＝0，当q≠0，1，2时．
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记它们是1维闭链；记不难验证z2∈Z2（K）．
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注意到任何两个相邻的2维定向单形在它们的公共面上诱导出相反的定向，例如a5a1是σ1的顺向面，而a1a5是σ2的顺向面．于是若c∈C2（K），则∂2c在a1a5上取值为0c在σ1与σ2上取值相同．于是，c∈Z2（K）c在每个σi上取同样的秩n，也就是说c＝nz2．因此Z2（K）是z2生成的自由循环群，
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设c∈C1（K），用例3中的办法，可以用σ14消去a7a2，用σ7消去a7a8，……最后
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c～c′＝n1a1a2＋n2a2a3＋n3a3a1＋n4a1a4＋n5a4a7
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＋n6a7a1＋n7a2a5＋n8a5a8＋n9a3a6＋n10a6a9．
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当c是闭链时，∂1c′＝0，可推出n7＝n8＝n9＝n10＝0，n1＝n2＝n3，n4＝n5＝n6．于是
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因此〈z1〉和生成H1（K）．
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若则有c∈C2（K），由于在K“内部”的1维定向单形上取值为0，可推出c＝kz2，从而∂2c＝0，得到n＝m＝0．这样H1（K）是以〈z1〉和为基的自由群，
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例5 K是射影平面P2的剖分，图6-18标出了它的10个2维单形的定向和名称．
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