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证明设设则从定义不难看出于是是连续的．K中单形只有有限个，并且每一个都是｜K｜的闭集，用粘接引理推出也是连续的． ▎
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单纯映射的性质使它能自然地诱导同调群的同态．
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设φ∶K→L是单纯映射，规定φq∶Tq（K）→Cq（L）如下：∀σ＝a0a1…aq∈Tq（K），令
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显然φq（－σ）＝－φq（σ），因此φq可线性扩张为Cq（K）到Cq（L）的同态，仍用φq记此同态．
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命题7.2 ∂qφq＝φq－1∂q（∀q∈Z），即下面图表可交换：
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（这里两个边缘同态分别是K和L上的，我们在记号上不加区别）．
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证明 只须对K的q维定向单形σ验证
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∂qφq（σ）＝φq－1∂q（σ）．
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设σ＝a0a1…aq．如果φ在σ上非退化，则
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如果φ在σ上退化，则∂qφq（σ）＝0．对φq－1∂q（σ）分两种情形讨论．若｛φ（a0），φ（a1），…，φ（aq）｝中不相同顶点不多于q－1个，则φ在σ的每个q－1维面上都退化，因此有φq－1∂q（σ）＝0．若｛φ（a0），φ（a1），…，φ（aq）｝中不相同顶点有q个，即只有一对相同，不妨设φ（a0）＝φ（a1），此时
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总之，在任何情形，等式∂qφq（σ）＝φq－1∂q（σ）都成立． ▎
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我们规定了与边缘同态交换的一系列同态｛φq∶Cq（K）→Cq（L）｜q∈Z｝，称为从链复形C（K）到C（L）的链映射．
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命题7.3 若｛φq｝是单纯映射φ∶K→L诱导的链映射．则φq（Zq（K））⊂Zq（L），φq（Bq（K））⊂Bq（L）．
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