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φq(b)=φq(∂q+1(c))=∂q+1(φq+1(c)).
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因此φq(b)∈Bq(L). ▎
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定义7.2 设φ∶K→L是单纯映射.∀q∈Z,规定同态φ*q∶Hq(K)→Hq(L)为:∀〈z〉∈Hq(K),令
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φ*q(〈z〉)=〈φq(z)〉,
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称φ*q为φ诱导的同调群同态.
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命题7.3只用到{φq}是链映射的性质,即它与边缘同态的交换性质.因此,两个链复形之间的任何链映射都诱导同调群的同态.
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命题7.4 设φ∶K→L和ψ∶L→M都是单纯映射,则ψφK→M也是单纯映射,并且
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(ψφ)*q=ψ*qφ*q, ∀q∈Z.
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(证明留给读者.) ▎
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1.2 单纯逼近
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单纯逼近是连结连续映射和单纯映射的桥梁,借助它我们能利用单纯映射来规定连续映射所诱导的同调群的同态.
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下面假设X和Y都是多面体,K和L分别是它们的剖分.
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定义7.3 设f∶X→Y是连续映射,φ∶K→L是单纯映射,称φ是f的一个单纯逼近,如果φ满足条件
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∀x∈X, (1)
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这里是φ决定的连续映射.
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条件(1)要求和f(x)在L的同一单形CarLf(x)中(f(x)是其内点,不必是内点),这就是“逼近”的含义.利用直线同伦,知道
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下面给出单纯逼近的另一种描述形式,它具有更强的几何直观性.需要用到一个新概念.
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定义7.4 设K是复形,a∈K0,a的星形是|K|的子集,记作StKa,规定为
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StKa∶={x∈|K|│a≺CarKx}.
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于是x∈StKa等价于a≺CarKx.
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图7-1是由3个2维单形及它们的面构成的复形K.以a1为顶点的单形有(a1,a2,a5),(a1,a2),(a1,a5)以及顶点a1本身,它们的内点构成StKa1,于是StKa1=(a1,a2,a5)(a2,a5)StKa2=|K|((a1,a5)∪(a5,a4)∪(a3,a4)).
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