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命题7.5 StKa是｜K｜的开子集．
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证明 只须证明｜K｜StKa是闭集．
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记则L是K的子复形，并且
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因此｜K｜StKa是紧致的，从而是｜K｜的闭集． ▎
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显然，｛StKa｜a∈K0｝是｜K｜的一个开覆盖．
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命题7.6 单纯映射φ∶K→L是连续映射f∶X→Y的单纯逼近的一个充分必要条件是
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∀a∈K0，f（StKa）⊂StLφ（a）． （2）
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证明 条件（1）也就是
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∀x∈X， （1′）
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因为（习题3），所以（1′）可改写成
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φ（CarKx）≺CarLf（x）， ∀x∈X． （1″）
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根据单纯映射的定义，它又可改写为
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∀x∈X，a∈K0，若a≺CarKx，则φ（a）≺CarLf（x），
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或用星形概念写出为
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∀a∈K0，x∈X，若x∈StKa，则f（x）∈StLφ（a），
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这就是（2）． ▎
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推论 如果φ∶K→L是f∶X→Y的单纯逼近ψ∶L→M是g∶Y→Z的单纯逼近，则ψφ是gf的单纯逼近． ▎
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（请读者自己验证．）
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图7-2
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