打字猴:1.70104694e+09
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1701046945 图7-2
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1701046948 例 如图7-2所示,K是1维单形(a1,a2)的闭包复形,L由2维单形(b0,b1,b2),(b1,b2,b3),(b2,b3,b4)以及它们的所有面构成.f∶|K|→|L|是一个嵌入映射,f(a1)在(b0,b1)内,f(a2)在(b2,b3,b4)内,的中点c的像点f(c)在(b1,b2,b3)内.对这个f,没有一个单纯映射φ∶K→L能作为它的单纯逼近.事实上,StKa1是|K|{a2},f(StKa1)不在L的任何星形中.
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1701046952 如果增添顶点c,得到|K|的另一剖分K′.则f有从K′到L的单纯逼近.事实上,因此由顶点映射
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1701046957 a1b1, cb2, a2b2(或b3)
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1701046959 决定的单纯映射是f的单纯逼近.
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1701046961 这个例子说明,对取定的剖分K,L,连续映射f∶X→Y不一定有单纯逼近.一般来说,剖分K越细致(它的星形越小),L越粗(它的星形越大),单纯逼近存在的可能性越大.下面的定理给出更确切的说明.
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1701046964 定理7.1 设K,L分别是多面体X,Y的剖分,f∶X→Y连续,则f存在K到L的单纯逼近∀a∈K0,存在b∈L0,使得f(StKa)⊂StLb.(这个条件称作f对K,L具有星形性质).
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1701046967 证明 .设φ∶K→L是单纯逼近,由条件(2)知,∀a∈K0,f(StKa)⊂StLφ(a),取b=φ(a)即可.
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1701046972 .规定K到L的顶点映射φ∶K0→L0,使得f(StKa)⊂StLφ(a).取x是的内点,则x∈StKai,i=0,…,q,从而f(x)∈f(StKai)⊂StLφ(ai),即φ(ai)≺CarLf(x),i=0,…,q.根据习题5,φ可扩张为单纯映射,仍记作φ.它满足条件(2),因此是f的单纯逼近. ▎
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1701046974 习 题
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1701046976 1.设φ∶K→L是单纯映射,证明φ(K)是L的子复形.
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1701046978 2.若φ∶K→L是一一的单纯映射,则φ-1:L→K也是单纯映射.(此时称φ是单纯同构.)
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1701046980 3.设φ∶K→L是单纯映射,x∈|K|,证明
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1701046985 4.设φ∶K→L,ψ∶L→M都是单纯映射.证明
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1701046988 (1)ψφ∶K→M也是单纯映射;
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