1701047297
1701047298
的复合（每个η的含义不同）．按这种约定，有
1701047299
1701047300
1701047301
ηr＋s＝ηrηs．
1701047302
1701047303
同样，记πr∶C（K（r））→C（K）是r个标准链映射（每个的含义不同）的复合，它由id∶｜K（r）｜→｜K｜的单纯逼近所导出，并且也有
1701047304
1701047305
1701047306
πr＋s＝πrπs．
1701047307
1701047308
我们有互逆的同构
1701047309
1701047310
1701047311
∀q∈Z．
1701047312
1701047313
3.2 f*q的规定
1701047314
1701047315
1701047316
命题7.9 如果φ∶K（r）→L和ψ∶K（r＋s）→L都是f∶｜K｜→｜L｜的单纯逼近，则∀q∈Z．
1701047317
1701047318
1701047319
证明 见下图表．因为φπs∶K（r＋s）→L也是f的单纯逼近，所以有（定理C.2）
1701047320
1701047321
1701047322
1701047323
1701047324
1701047325
∀q∈Z．
1701047326
1701047327
于是
1701047328
1701047329
1701047330
∀q∈Z． ▎
1701047331
1701047332
现在我们可以给出下面的定义．
1701047333
1701047334
定义7.6 设K，L是复形，f∶｜K｜→｜L｜是连续映射，取φ∶K（r）→K是f的单纯逼近，规定f诱导的同调群同态为
1701047335
1701047336
1701047337
∀q∈Z．
1701047338
1701047339
命题7.10 （1）设K是多面体，则恒同映射id∶｜K｜→｜K｜导出的同调群同态id*q∶Hq（K）→Hq（K）是恒同同构．
1701047340
1701047341
（2）设K，L和M都是复形，f∶｜K｜→｜L｜和g∶｜L｜→｜M｜都是连续映射，则
1701047342
1701047343
1701047344
1701047345
（gf）*q＝g*qf*q∶Hq（K）→Hq（M）， ∀q∈Z．
1701047346