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πr＋s＝πrπs．
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我们有互逆的同构
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∀q∈Z．
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3.2 f*q的规定
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命题7.9 如果φ∶K（r）→L和ψ∶K（r＋s）→L都是f∶｜K｜→｜L｜的单纯逼近，则∀q∈Z．
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证明 见下图表．因为φπs∶K（r＋s）→L也是f的单纯逼近，所以有（定理C.2）
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∀q∈Z．
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于是
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∀q∈Z． ▎
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现在我们可以给出下面的定义．
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定义7.6 设K，L是复形，f∶｜K｜→｜L｜是连续映射，取φ∶K（r）→K是f的单纯逼近，规定f诱导的同调群同态为
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∀q∈Z．
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命题7.10 （1）设K是多面体，则恒同映射id∶｜K｜→｜K｜导出的同调群同态id*q∶Hq（K）→Hq（K）是恒同同构．
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（2）设K，L和M都是复形，f∶｜K｜→｜L｜和g∶｜L｜→｜M｜都是连续映射，则
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（gf）*q＝g*qf*q∶Hq（K）→Hq（M）， ∀q∈Z．
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证明 （1）取K到自身的恒同单纯映射作为id∶｜K｜→｜K｜的单纯逼近就可得到结论．
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（2）在下面的图表中，ψ∶L（s）→M是g的单纯逼近，φ∶K（r）→L（s）是f的单纯逼近．于是πsφ∶K（r）→L也是f的单纯逼近，ψφ∶K（r）→M是gf的单纯逼近，由定义
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