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证明 作复形Σn如下．
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记规定
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图8-1
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图8-1中画出了Σ2，它是正八面体的边界．
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我们不难看出它也是关于原点O中心对称的．记r∶｜Σn｜→Sn为中心投影，即由规定的映射，则r是同胚，从而（Σn，r）是Sn的剖分．
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记h′＝r-1hr∶｜Σn｜→｜Σn｜，则h′是｜Σn｜上的中心对称映射．记φ∶Σn→Σn是由顶点对应决定的单纯映射，则因此φ就是h′的单纯逼近．约定
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取zn∈Cn（Σn）为
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容易验证∂nzn＝0，即zn∈Zn（Σn）＝Hn（Σn）．zn≠0，并且
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按定义，deg（h）＝（－1）n＋1． ▎
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如果n是正偶数，则deg（h）＝－1，从而
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定理8.1 设n是正偶数，p∶Sn→X是复叠映射，则p是2叶复叠映射或同胚映射．
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证明 因为Sn单连通，p是泛复叠映射，所以p的叶数就是复叠变换群（Sn，p）中元素的个数，要证＃（Sn，p）≤2．
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如果g∈（Sn，p），g不是id∶Sn→Sn，则g无不动点，即g（x）≠x＝－h（x）．于是（第四章§1例2），从而deg（g）＝deg（h）＝（－1）n＋1＝－1．