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∀x∈Sn．
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因为v（x）·x＝0，所以f（x）·x＝0，从而f（x）≠±x，∀x∈Sn．由此推出（从f（x）≠－x，∀x∈Sn），和（从f（x）≠x，∀x∈Sn）（见第四章§1的例2）．于是但deg（h）＝－1，deg（id）＝1，与命题8.1的（2）矛盾． ▎
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如果‖v（x）‖＝1，∀x∈Sn（即v（x）总是单位向量，就称v是Sn上的单位切向量场．于是定理8.2的另一说法是：当n是正的偶数时，Sn上没有连续的单位切向量场．
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图8-2
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在n＝2时，定理还有一个直观的说法：一个球面上如果长满了毛发，不可能将毛发处处平顺地梳拢到球面上．也就是说在有的点上的毛发不论往哪个方向梳，总要与周围毛发的方向不协调．以这种点为心的一个小圆圈上，毛发的方向不会是图8-2（a）的情形（否则让圆内各点处的毛发按圆圈上的方向梳理，x就不是特殊点了），而是像（b），（c）或者更加复杂的情形，即毛发在x处“打旋”．图8-3的（a）和（b）分别画出了有一个和两个旋点的情形．
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图8-3
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在T2上情况则不同，可以将T2上的毛发处处平顺地梳拢在T2上，比如让毛发都顺着经圆．
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习 题
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1．证明Sn－1不是Dn的收缩核．
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2．设f∶Dn→En连续．证明在下列条件之一成立时，f有不动点：
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（1）f（Sn－1）⊂Dn；
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（2）∀x∈Sn－1，f（x），x与原点不共线；
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（3）∀x∈Sn－1，线段过原点．
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（这是第四章§5习题8的推广）
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3．设f∶Dn→En是嵌入映射，并且Dn⊂f（Dn），则f有不动点．
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4．设f∶Dn→Dn连续，并且f（Sn－1）⊂Sn－1，记f0∶Sn－1→Sn－1是f在Sn－1上的限制．证明：如果deg（f0）≠0，则f是满的．
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5．设n是偶数，f∶Sn→Sn连续，则
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（1）f或有不动点，或有点x∈Sn使得f（x）＝－x；
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（2）f2有不动点．
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