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∀x∈Sn.
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因为v(x)·x=0,所以f(x)·x=0,从而f(x)≠±x,∀x∈Sn.由此推出(从f(x)≠-x,∀x∈Sn),和(从f(x)≠x,∀x∈Sn)(见第四章§1的例2).于是但deg(h)=-1,deg(id)=1,与命题8.1的(2)矛盾. ▎
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如果‖v(x)‖=1,∀x∈Sn(即v(x)总是单位向量,就称v是Sn上的单位切向量场.于是定理8.2的另一说法是:当n是正的偶数时,Sn上没有连续的单位切向量场.
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图8-2
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在n=2时,定理还有一个直观的说法:一个球面上如果长满了毛发,不可能将毛发处处平顺地梳拢到球面上.也就是说在有的点上的毛发不论往哪个方向梳,总要与周围毛发的方向不协调.以这种点为心的一个小圆圈上,毛发的方向不会是图8-2(a)的情形(否则让圆内各点处的毛发按圆圈上的方向梳理,x就不是特殊点了),而是像(b),(c)或者更加复杂的情形,即毛发在x处“打旋”.图8-3的(a)和(b)分别画出了有一个和两个旋点的情形.
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图8-3
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在T2上情况则不同,可以将T2上的毛发处处平顺地梳拢在T2上,比如让毛发都顺着经圆.
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习 题
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1.证明Sn-1不是Dn的收缩核.
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2.设f∶Dn→En连续.证明在下列条件之一成立时,f有不动点:
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(1)f(Sn-1)⊂Dn;
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(2)∀x∈Sn-1,f(x),x与原点不共线;
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(3)∀x∈Sn-1,线段过原点.
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(这是第四章§5习题8的推广)
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3.设f∶Dn→En是嵌入映射,并且Dn⊂f(Dn),则f有不动点.
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4.设f∶Dn→Dn连续,并且f(Sn-1)⊂Sn-1,记f0∶Sn-1→Sn-1是f在Sn-1上的限制.证明:如果deg(f0)≠0,则f是满的.
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5.设n是偶数,f∶Sn→Sn连续,则
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(1)f或有不动点,或有点x∈Sn使得f(x)=-x;
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(2)f2有不动点.
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