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习 题
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1．证明Sn－1不是Dn的收缩核．
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2．设f∶Dn→En连续．证明在下列条件之一成立时，f有不动点：
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（1）f（Sn－1）⊂Dn；
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（2）∀x∈Sn－1，f（x），x与原点不共线；
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（3）∀x∈Sn－1，线段过原点．
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（这是第四章§5习题8的推广）
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3．设f∶Dn→En是嵌入映射，并且Dn⊂f（Dn），则f有不动点．
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4．设f∶Dn→Dn连续，并且f（Sn－1）⊂Sn－1，记f0∶Sn－1→Sn－1是f在Sn－1上的限制．证明：如果deg（f0）≠0，则f是满的．
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5．设n是偶数，f∶Sn→Sn连续，则
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（1）f或有不动点，或有点x∈Sn使得f（x）＝－x；
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（2）f2有不动点．
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基础拓扑学讲义 [:1701040240]
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§2 保径映射的映射度及其应用
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2.1 保径映射的映射度
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称连续映射f∶Sn→Sn为保径映射，如果∀x∈Sn，f（－x）＝－f（x），即hf＝fh．
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我们来计算保径映射的映射度，并由此说明它不零伦．这个事实有许多重要而有趣的应用．
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引理1 若f∶Sn→Sn是保径映射，则存在保径映射g，满足并且g（Sn－1）≠Sn．
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证明 用单纯逼近的方法证明，沿用命题8.2的证明中规定的Σn，h′，r等记号．记f′＝r-1fr∶｜Σn｜→｜Σn｜，则f′也是对径的，即f′h′＝h′f′．取足够大的自然数q，使得f′关于L＝（Σn）（q）和Σn有星形性质．L也是关于原点O中心对称的复形，因此∀a∈L0，StL（－a）＝h′（StLa）．于是当b∈（Σn）0使得时，这样，可构作f′的单纯逼近ψ∶L→Σn，使得∀a∈L0，ψ（－a）＝－ψ（a），从而也是保径的．令不难验证g满足引理的要求． ▎