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证明 用单纯逼近的方法证明，沿用命题8.2的证明中规定的Σn，h′，r等记号．记f′＝r-1fr∶｜Σn｜→｜Σn｜，则f′也是对径的，即f′h′＝h′f′．取足够大的自然数q，使得f′关于L＝（Σn）（q）和Σn有星形性质．L也是关于原点O中心对称的复形，因此∀a∈L0，StL（－a）＝h′（StLa）．于是当b∈（Σn）0使得时，这样，可构作f′的单纯逼近ψ∶L→Σn，使得∀a∈L0，ψ（－a）＝－ψ（a），从而也是保径的．令不难验证g满足引理的要求． ▎
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引理2 若f∶Sn→Sn是保径映射，则存在保径映射g，满足，并且g（Sn－1）⊂Sn－1．
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证明 由引理1，不妨假定f（Sn－1）≠Sn，并且和不在f（Sn－1）中．规定为：
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记g0＝jf｜Sn－1∶Sn－1→Sn．则g0（Sn－1）⊂Sn－1，并且不难看出g0保径地同伦于f｜Sn－1，即存在从f｜Sn－1到g0的同伦H0，使得
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H0（－P，t）＝－H0（P，t）， ∀P∈Sn－1，t∈I．
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记是上半球面，即则X是×I的形变收缩核．取为一个收缩映射．规定G0∶X→Sn为
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记并规定为
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H_（P，t）＝－H＋（－P，t），t∈I．
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于是在和的交集Sn－1×I上，H－和H＋的限制都是H0，从而可粘接H＋和H－得到同伦H∶Sn×I→Sn，它是H0的扩张，并且H（P，0）＝f（P），∀P∈Sn．规定g为g（P）＝H（P，1），∀P∈Sn．不难验证g满足引理的要求． ▎
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作Σn的n－1维闭链
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它在Σn－1中，是Zn－1（Σn－1）的生成元．规定Σn的n维链
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