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记是上半球面，即则X是×I的形变收缩核．取为一个收缩映射．规定G0∶X→Sn为
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记并规定为
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H_（P，t）＝－H＋（－P，t），t∈I．
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于是在和的交集Sn－1×I上，H－和H＋的限制都是H0，从而可粘接H＋和H－得到同伦H∶Sn×I→Sn，它是H0的扩张，并且H（P，0）＝f（P），∀P∈Sn．规定g为g（P）＝H（P，1），∀P∈Sn．不难验证g满足引理的要求． ▎
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作Σn的n－1维闭链
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它在Σn－1中，是Zn－1（Σn－1）的生成元．规定Σn的n维链
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则（zn的意义见命题8.2的证明），并且（φn是命题8.2中规定的单纯映射φ∶Σn→Σn导出的链同态）．
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引理3 如果Σn的n维链cn的边缘∂ncn在Σn－1中，则存在整数k和l，使得
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证明 一般地（由Σn的构造可看出）存在Σn－1的n－1维链．cn－1和使得于是
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因为∂ncn在Σn－1中，所以即cn－1和都是Σn－1中的n－1维闭链，从而存在整数k和l，使得