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引理3 如果Σn的n维链cn的边缘∂ncn在Σn－1中，则存在整数k和l，使得
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证明 一般地（由Σn的构造可看出）存在Σn－1的n－1维链．cn－1和使得于是
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因为∂ncn在Σn－1中，所以即cn－1和都是Σn－1中的n－1维闭链，从而存在整数k和l，使得
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cn－1＝（－1）nkzn－1，
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于是
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命题8.3 球面的保径映射的映射度为奇数．
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证明 只用对多面体｜Σn｜的保径映射论证．
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用归纳法（对n作归纳）证明．要证两个部分：
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（1）n＝1时命题成立；
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（2）当命题对n－1成立时，对n也成立．
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两部分论证的方法大体上一样，可同时进行．
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设f∶｜Σn｜→｜Σn｜是保径映射．根据引理2，不妨假设f（｜Σn－1｜）⊂｜Σn－1｜．记也是保径映射．用引理1的方法，可构造f的单纯逼近ψ∶（Σn）（q）→Σn，使得ψ是保径的，并且容易验证，ψ（（Σn－1）（q））⊂Σn－1．记fi＝∀i∈Z．则
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fiφi＝φifi
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（这里φi∶Ci（Σn）→Ci（Σn）是命题8.2中的单纯映射φ∶Σn→Σn导出的链同态），并且fi（Ci（Σn－1））⊂Ci（Σn－1）．
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由于∂n（fn（dn））＝fn－1（∂ndn）＝（－1）nfn－1（zn－1）在Σn－1中，根据引理3，存在整数k和l，使得
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