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而从而
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于是k－l＝ε，｜k－l｜＝1，推出deg（f）＝k＋l是奇数．
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（2）的证明
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Zn－1是Hn－1（Σn－1）＝Zn－1（Σn－1）的生成元，因此由归纳假设知，k－l是奇数，从而deg（f）＝k＋l也是奇数． ▎
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2.2 Borsuk-Ulam定理
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Borsuk-Ulam定理是利用保径映射不零伦的性质得出的一个著名定理，它有许多应用和推广．
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定理8.3（Borsuk-Ulam定理） 设f∶Sn→En是连续映射，则Sn上至少有一对对径点被f映到同一点．
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证明 否则，∀x∈Sn，f（x）≠f（一x）．规定g∶Sn→Sn－1为
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∀x∈Sn，
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则g（－x）＝－g（x），∀x∈Sn．记i∶Sn－1→Sn是包含映射，则ig∶Sn→Sn是保径映射，并且ig不满，从而ig零伦．与命题8.3相矛盾． ▎
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推论 若A1，…，An是Sn上的n个闭集，每一个不包含一对对径点，则至少含一对对径点．
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证明 规定连续映射f∶Sn→En为
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f（x）＝（d（x，A1），…，d（x，An））， ∀x∈Sn．
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由定理8.3知道，存在一对对径点x与－x，使得f（x）＝f（－x），即∀i∈Z，d（x，Ai）＝d（－x，Ai）．但是，x与－x不能都在Ai中，于是d（x，Ai）＝d（－x，Ai）＞0，即x，－x都不在Ai中（∀i∈Z），因此它们包含在中． ▎
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推论中的条件“A1，…，An是Sn上的闭集”可减弱为“A1，…，An是Sn上的闭集或开集”．在证明中定义f时，当Ai是开集时，就用代替原来的d（x，Ai）就可．