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推论中的条件“A1，…，An是Sn上的闭集”可减弱为“A1，…，An是Sn上的闭集或开集”．在证明中定义f时，当Ai是开集时，就用代替原来的d（x，Ai）就可．
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推论的另一种形式是
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Lusternik-Schnirelmann定理 若Sn被（n＋1）个闭集A1，…，An＋1所覆盖，则至少有一个Ai包含一对对径点．
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由上面的讨论，定理中关于A1，…，An＋1的条件也可减弱为其中有n个为闭集或开集．
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定理8.3的另一个有趣的应用就是所谓三明治定理，它的直观含义是：由两片面包夹一块火腿做成的一份三明治总可切一刀，把每片面包和火腿都等分为两半．下面用数学语言写出这个定理．
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定理8.4（三明治定理） 设E3中有三个可测体积的子集A1，A2和A3，则有平面把每个Ai都分成体积相等的两部分．
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图8-4 n＝2时三明治定理的证明
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证明 在E4E3中任取一点P，∀x∈S3，过P作三维超平面垂直于（记作π（x），如图8-4），将E4分为两个半空间，把所指的那一个记作另一半空间记作则把的体积记作vi（x），规定f∶S3→E3为
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f（x）＝（v1（x），v2（x），v3（x））， ∀x∈Sn，
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则f连续．根据定理8.3，存在x0，使得f（x0）＝f（－x0），即vi（x0）＝vi（－x0）（i＝1，2，3），从而与有相同的体积．记π0是π（x0）与E3的相交平面，则π0等分Ai（i＝1，2，3）． ▎
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三明治定理可推广到任何自然数n的情形：En中任何n个可测子集A1，A2，…，An可同时被某个n－1维超平面等分．
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习 题
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1．设f∶Sn→Sn连续，并且∀x∈Sn，f（x）≠f（－x）．证明deg（f）是奇数．
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2．设X是可剖分空间，f∶Sn→X连续，并且满足f（x）＝f（－x），∀x∈Sn．证明f*n（Hn（Sn））⊂2Hn（X）．特别当n是偶数时f*n（Hn（Sn））＝0．
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（对一个交换群G，把由gng得到的G的自同态记作φn，则规定nG∶＝Imφn．它也就是G中全体能被n除的元素构成的子群．）
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3．设f∶Sn→Sn连续，并且满足f（x）＝f（－x），∀x∈Sn，则deg（f）是偶数．
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4．若f∶Sn→Sn连续，并且f（－x）≠－f（x），∀x∈Sn，则deg（f）是偶数．
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5．若f∶Sm→Sn是保径映射，则m≤n．
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