1701048042
1701048043
推论中的条件“A1,…,An是Sn上的闭集”可减弱为“A1,…,An是Sn上的闭集或开集”.在证明中定义f时,当Ai是开集时,就用代替原来的d(x,Ai)就可.
1701048044
1701048045
推论的另一种形式是
1701048046
1701048047
Lusternik-Schnirelmann定理 若Sn被(n+1)个闭集A1,…,An+1所覆盖,则至少有一个Ai包含一对对径点.
1701048048
1701048049
由上面的讨论,定理中关于A1,…,An+1的条件也可减弱为其中有n个为闭集或开集.
1701048050
1701048051
定理8.3的另一个有趣的应用就是所谓三明治定理,它的直观含义是:由两片面包夹一块火腿做成的一份三明治总可切一刀,把每片面包和火腿都等分为两半.下面用数学语言写出这个定理.
1701048052
1701048053
定理8.4(三明治定理) 设E3中有三个可测体积的子集A1,A2和A3,则有平面把每个Ai都分成体积相等的两部分.
1701048054
1701048055
1701048056
1701048057
1701048058
图8-4 n=2时三明治定理的证明
1701048059
1701048060
1701048061
1701048062
1701048063
1701048064
1701048065
1701048066
1701048067
证明 在E4E3中任取一点P,∀x∈S3,过P作三维超平面垂直于(记作π(x),如图8-4),将E4分为两个半空间,把所指的那一个记作另一半空间记作则把的体积记作vi(x),规定f∶S3→E3为
1701048068
1701048069
f(x)=(v1(x),v2(x),v3(x)), ∀x∈Sn,
1701048070
1701048071
1701048072
1701048073
则f连续.根据定理8.3,存在x0,使得f(x0)=f(-x0),即vi(x0)=vi(-x0)(i=1,2,3),从而与有相同的体积.记π0是π(x0)与E3的相交平面,则π0等分Ai(i=1,2,3). ▎
1701048074
1701048075
三明治定理可推广到任何自然数n的情形:En中任何n个可测子集A1,A2,…,An可同时被某个n-1维超平面等分.
1701048076
1701048077
习 题
1701048078
1701048079
1.设f∶Sn→Sn连续,并且∀x∈Sn,f(x)≠f(-x).证明deg(f)是奇数.
1701048080
1701048081
2.设X是可剖分空间,f∶Sn→X连续,并且满足f(x)=f(-x),∀x∈Sn.证明f*n(Hn(Sn))⊂2Hn(X).特别当n是偶数时f*n(Hn(Sn))=0.
1701048082
1701048083
1701048084
(对一个交换群G,把由gng得到的G的自同态记作φn,则规定nG∶=Imφn.它也就是G中全体能被n除的元素构成的子群.)
1701048085
1701048086
3.设f∶Sn→Sn连续,并且满足f(x)=f(-x),∀x∈Sn,则deg(f)是偶数.
1701048087
1701048088
4.若f∶Sn→Sn连续,并且f(-x)≠-f(x),∀x∈Sn,则deg(f)是偶数.
1701048089
1701048090
5.若f∶Sm→Sn是保径映射,则m≤n.
1701048091
[
上一页 ]
[ :1.701048042e+09 ]
[
下一页 ]