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设A是自由交换群F的基，H是一交换群，则从A到H的任一对应θ∶A→H可按下式唯一决定同态φ∶F→H，
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称φ是θ的线性扩张．
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定义A.2 如果交换群H有一有限子集
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A＝｛a1，a2，…，ar｝，
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使得H的每个元素x可表成
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的形式，则称H是有限生成交换群，称A是它们的一个生成元组．
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命题A.1 交换群H是有限生成的H是一个有限基自由交换群的商群．
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证明 ．设j∶F→H是满同态，其中F是有限基自由群．设｛f1，f2，…，fr｝是F的基，则显然｛j（f1），…，j（fr）｝是H的生成元组．
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．取H的生成元组｛a1，a2，…，ar｝．构作F为
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F＝｛（n1，…，nr）｜ni∈Z｝，
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则F在向量加法下是有限基自由交换群．规定对应j∶F→H为则j是满同态． ▎
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推论 有限生成交换群的商群也是有限生成的． ▎
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根据本书的需要，从现在起，我们只讨论有限生成的交换群．
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设H是有限生成交换群，h∈H称为有限阶的，如果存在r∈N，使得rh＝0．记TH是H的全部有限阶元素构成的集合，则TH是H的子群，称为H的挠子群．
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设H0是H的子群，规定
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C（H0）∶＝｛h∈H｜存在r∈N，使得rh∈H0｝．
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它是H的一个子群．特别地，C（TH）＝C（0）＝TH．
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命题A.2 （1）H/C（H0）无有限阶非0元素；
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（2）C（H0）/H0的每个元素都是有限阶的．
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证明 （1）设h∈H，使得它代表的商群元素〈h〉∈H/C（H0）是有限阶的，则有r∈N，使得r〈h〉＝0，即rh∈C（H0）．由定义，存在r′∈N，使得r′（rh）∈H0，于是h∈C（H0），〈h〉＝0．