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命题A.2 （1）H/C（H0）无有限阶非0元素；
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（2）C（H0）/H0的每个元素都是有限阶的．
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证明 （1）设h∈H，使得它代表的商群元素〈h〉∈H/C（H0）是有限阶的，则有r∈N，使得r〈h〉＝0，即rh∈C（H0）．由定义，存在r′∈N，使得r′（rh）∈H0，于是h∈C（H0），〈h〉＝0．
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（2）由C（H0）的定义直接得出． ▎
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推论 H/TH无有限阶非0元素． ▎
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引理 设r1，r2，…，rn都是整数，它们的最大公约数（r1，r2，…，rn）＝1．则存在使得
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这里是全体以整数为元素、行列式等于1的n阶方阵的集合．
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证明 对n作归纳．n＝1显然．
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设对n－1已证．（r1，r2，…，rn）＝1．记r＝（rn－1，rn）．则存在整数s和t，使得srn－1＋trn＝r．作为
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则
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由于（r1，…，rn－2，r）＝（r1，…，rn－1，rn）＝1，根据归纳假设，存在使得
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令，则A为所求． ▎
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定理A.1 没有有限阶非0元素的有限生成交换群是自由群．
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证明 设H是有限生成交换群．它没有有限阶非0元素．假设H的生成元组包含元素个数的最小值为n，并且｛a1，a2，…，an｝是一个生成元组．用反证法说明｛a1，a2，…，an｝自由生成H．否则，有不全为0的整数r1，r2，…，rn，使得r1a1＋r2a2＋…＋rnan＝0．由于H没有有限阶非0元素，不妨可设最大公约数（r1，r2，…，rn）＝1．由引理，存在使得
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令（b1，b2，…，bn）＝（a1，a2，…，an）A-1，则｛bi｝也是H的生成元组，并且