1701048480
1701048481
证明 因为所以用命题A.5（1）
1701048482
1701048483
rankH＝rank（C（H0））＋rank（H/C（H0））．
1701048484
1701048485
H0⊂C（H0），且C（H0）/H0的元素是有限阶的，从而根据命题A.5（2），rank（C（H0））＝rankH0．剩下只用证明rank（H/H0）＝rank（H/C（H0））．
1701048486
1701048487
根据代数学中的定理，
1701048488
1701048489
1701048490
1701048491
1701048492
而且H/C（H0）是自由交换群，于是
1701048493
1701048494
1701048495
1701048496
1701048497
rank（H/H0）＝rank（H/C（H0））． ▎
1701048498
1701048499
4．有限生成交换群的直和分解
1701048500
1701048501
设F是秩为n的自由交换群．F中元素x称为可除的，如果存在自然数r＞1，和x1∈F，使得x＝rx1．
1701048502
1701048503
1701048504
1701048505
取定F的基｛y1，y2，…，yn｝，设则x不可除r1，r2，…，rn的最大公约数（r1，r2，…，rn）＝1．
1701048506
1701048507
1701048508
1701048509
当x是某个基的成员时，不妨设｛x，y2，…，yn｝是基，则x的坐标为（1，0，…，0），这组坐标的最大公因子为1，故x不可除．反之，若x不可除，不妨设对于基｛yi｝，有1．则由前面的引理，存在使得
1701048510
1701048511
1701048512
1701048513
1701048514
则｛x1，…，xn｝∶＝｛（y1，…，yn）A-1｝也是基，x＝x1．我们证明了
1701048515
1701048516
1701048517
命题A.6 x不可除x是某个基的一个成员． ▎
1701048518
1701048519
命题A.7 ∀x∈F，存在唯一自然数r和不可除元素x1，使得x＝rx1．称r为x的高度，x1为x的底．
1701048520
1701048521
1701048522
1701048523
证明 任取基｛y1，…，yn｝，设记r＝（r1，…，rn），则x1不可除，且x＝rx1．
1701048524
1701048525
1701048526
1701048527
1701048528
1701048529
