打字猴:1.701048544e+09

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1701048548 设对秩为n－1时结论成立．考虑秩为n的情形．设F0的非零元中，a在F中高度最小．并设k1是a的高度．设a的底为x1，并设｛x1，x2，…，xn｝为F的基．记A是x1生成的自由循环群，F′是｛x2，…，xn｝生成的自由群，则F＝AF′．记A0＝F0∩A（它是a生成的自由循环群），下面验证显然∀b∈F0，设若k1＋r1，则存在l∈Z，使得0＜r1＋lk1＜k1．b＋la∈F0，其高度＝（r1＋lk1，r2，…，rn）＜k1，矛盾，说明k1｜r1．于是其中由命题A．

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1701048558 因为F′是秩为n－1的自由交换群，所以对F′，可用归纳假设，取是F′的基，使得是的基，并且ki｜ki＋1（i＝2，…，s－1）．于是，是F的基，是F0的基．剩下只用证k1｜k2．F0中元素的高度＝（k1，k2）≤k1，按约定它不比k1小，从而（k1，k2）＝k1，k1｜k2．　▎

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1701048560 定理A.4（有限生成交换群基本定理）　有限生成交换群H可分解为

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1701048563 ki为自然数，ki＋1｜ki

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1701048565 （i＝1，…，s－1），

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1701048567 其中F1是秩为rankH的自由交换群；k1，k2，…，ks由H确定，称为H的挠系数．

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1701048570 证明　根据命题A.1，存在有限基自由交换群F和满同态j∶F→H，记F0＝Kerj．根据定理A.3，存在F的基｛x1，x2，…，xn｝，使得｛k1x1，…，ksxs｝是F0的基，并且ki＋1｜ki（i＝1，…，s－1，注意ki的大小次序的改变），于是其中F1是自由群，其秩等于rankH．剩下只用证k1，…，ks的确定性．

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