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因为F′是秩为n－1的自由交换群，所以对F′，可用归纳假设，取是F′的基，使得是的基，并且ki｜ki＋1（i＝2，…，s－1）．于是，是F的基，是F0的基．剩下只用证k1｜k2．F0中元素的高度＝（k1，k2）≤k1，按约定它不比k1小，从而（k1，k2）＝k1，k1｜k2． ▎
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定理A.4（有限生成交换群基本定理） 有限生成交换群H可分解为
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ki为自然数，ki＋1｜ki
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（i＝1，…，s－1），
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其中F1是秩为rankH的自由交换群；k1，k2，…，ks由H确定，称为H的挠系数．
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证明 根据命题A.1，存在有限基自由交换群F和满同态j∶F→H，记F0＝Kerj．根据定理A.3，存在F的基｛x1，x2，…，xn｝，使得｛k1x1，…，ksxs｝是F0的基，并且ki＋1｜ki（i＝1，…，s－1，注意ki的大小次序的改变），于是其中F1是自由群，其秩等于rankH．剩下只用证k1，…，ks的确定性．
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设H的挠子群为T，则设H还有另一分解式则总可假设s＝s′，否则在短的一方后面加上几个Z1＝0．下面用反证法证明：否则，有r，使得而时．不妨设考虑有限群krT的阶（所含元素个数）．一方面其阶为
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另一方面阶等于
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因为，所以两个结果不相等，矛盾． ▎
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5．群的自由乘积，自由群
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从现在起，我们转向一般群（不必是交换群）．
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定义A.4 设｛Gλ｜λ∈Λ｝是一族群，规定它们的自由乘积是一个群，作为集合
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xi是某个Gλ中的非单位元，
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