1701048744
1701048745
1701048746
1701048747
1701048748
1701048749
1701048750
命题A.11 从而
1701048751
1701048752
1701048753
1701048754
1701048755
证明 因为是交换群，所以只须再证
1701048756
1701048757
1701048758
1701048759
1701048760
1701048761
∀g2∈Kerl，取g1∈f-1（g2）．于是jj1（g1）＝lf（g1）＝l（g2）＝0，从而j1（g1）∈j1（G0），即存在g0∈G0，使得j1（g0）＝j1（g1）．于是则 ▎
1701048762
1701048763
1701048764
1701048765
1701048766
推论 若f∶G1→G2是满同态，Kerf＝G0．设是f诱导的同态（命题A.10），则其中是投射．
1701048767
1701048768
1701048769
1701048770
1701048771
1701048772
1701048773
1701048774
1701048775
1701048776
1701048777
1701048778
1701048779
1701048780
证明 根据命题A.11，有同构使得hl＝j2，见左面图表．于是（hj）j1＝j2f即就是f诱导的同态从而 ▎
1701048781
1701048782
1701048783
命题A.12
1701048784
1701048785
1701048786
1701048787
1701048788
1701048789
1701048790
1701048791
1701048792
证明记iλ∶Gλ→G1*G2是包含映射，λ＝1，2；记φ1∶G1*G2→G1，是满足φ1i1＝id，φ1i2平凡的同态．则有和使得（习题10）．根据习题4（或习题11），只用再证明
1701048793