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φ是满同态 只须证明φ0是满同态．∀〈a〉∈π1（X，x0），由于X1和X2构成X的开覆盖，对于道路a，可取到足够大的自然数n，使得当将I＝［0，1］等分为n个区间I1，I2，…，In时，a把每个Ih映入X1或X2中．对每个分割点当（l＝0，1或2）时，取Xl中从x0到的道路wh，记（x0处的点道路）．记ah是a｜Ih决定的道路，它是X1或X2中的道路．当它在Xl中时，取（如果既在X1中，又在X2中，任意取定l为1或2）．记γ＝γ1γ2…γn∈π1（X1，x0）*π1（X2，x0），则
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即〈a〉∈Imφ0．由〈a〉的任意性推得φ0是满同态．
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φ是单同态 这部分证明较复杂．先作一些技术准备．对X1或X2中在x0处的闭路u，我们来规定π中的一个元素［u］．u在Xl（l＝1或2）中，它代表了π1（Xl，x0）的元素〈u〉l，将其看作π1（X1，x0）*π1（X2，x0）中的元素，就决定了π中的一个元素，也就是〈u〉l的G陪集．问题是当u在X0中时，它同时可从X1和X2两个途径决定π中元素，即〈u〉1的G陪集和〈u〉2的G陪集．然而，若记〈u〉0是u代表的π1（X0，x0）中的元素，则
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〈u〉l＝（il）π（〈u〉0）， l＝1，2，
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从而〈u〉1，〈u〉2属于同一个G陪集．因此u总是唯一决定π中的一个元素，将它记作［u］．不难看出
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（i）若u1，u2都是x0处闭路，且u1u2在X1或X2中，则［u1u2］＝［u1］［u2］．
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（ii）若u，v都是x0处闭路，并且在X1或X2中则［u］＝［v］．
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现在来证φ是单的．设ω∈π，使φ（ω）＝1，要证ω＝1．ω是π1（X1，x0）*π1（X2，x0）的一个G陪集，设它含元素其中lh＝1或2（h＝1，…，n）．于是ω＝［a1］［a2］…［an］．
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构作x0处闭路a，使得决定的道路就是ah，h＝1，…，n，则a代表的π1（X，x0）中的元素从而有a到的定端同伦H∶I×I→X．
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取能被n整除的足够大的正整数m，使得I×I等分成的m2个小正方形的每一块被H映入X1或X2．记j，k＝0，…，m．把H在线段Aj－1kAjk和Ajk－1Ajk上的限制道路分别记作ujk和vjk（见右图）．当H（Ajk）∈Xl（l＝0，1或2）时，取Xl中从x0到H（Ajk）的道路wjk（如果H（Ajk）＝x0，则记
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规定π中元素
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则λjm＝μ0k＝μmk＝1，并且
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于是
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