1701048962
1701048963
1701048964
1701048965
1701048966
取能被n整除的足够大的正整数m，使得I×I等分成的m2个小正方形的每一块被H映入X1或X2．记j，k＝0，…，m．把H在线段Aj－1kAjk和Ajk－1Ajk上的限制道路分别记作ujk和vjk（见右图）．当H（Ajk）∈Xl（l＝0，1或2）时，取Xl中从x0到H（Ajk）的道路wjk（如果H（Ajk）＝x0，则记
1701048967
1701048968
规定π中元素
1701048969
1701048970
1701048971
1701048972
1701048973
则λjm＝μ0k＝μmk＝1，并且
1701048974
1701048975
1701048976
1701048977
1701048978
于是
1701048979
1701048980
1701048981
1701048982
1701048983
记ηk＝λ1kλ2k…λmk（k＝0，1，…，m），则∀k＝0，…，m－1，有
1701048984
1701048985
1701048986
1701048987
1701048988
于是η0＝ηm＝λ1mλ2m…λmm＝1．
1701048989
1701048990
1701048991
记则
1701048992
1701048993
1701048994
1701048995
1701048996
于是η0＝［a1］［a2］…［an］＝ω．从而ω＝1．
1701048997
1701048998
定理证毕． ▎
1701048999
1701049000
定理的条件中，X道路连通可以去掉，因为当X不道路连通时，只用把它换成X0所在的道路分支．
1701049001
1701049002
下面用母元和关系的语言来表述Van-Kampen定理．
1701049003
1701049004
1701049005
设拓扑空间X分解为开集X1与X2之并，使得交集X0＝X1∩X2非空并且道路连通．取定基点x0∈X0．设基本群π1（Xi，x0）有表示｛Ai，Ri｝，其中Ai是母元组，Ri为关系组，i＝0，1，2．记li∶X0→Xi是包含映射，i＝1，2．规定A1A2上的关系组
1701049006
1701049007
1701049008
R｛（l1）π（α）（l2）π（α-1）｜α∈A0｝．
1701049009
1701049010
1701049011