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则λjm＝μ0k＝μmk＝1，并且
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于是
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记ηk＝λ1kλ2k…λmk（k＝0，1，…，m），则∀k＝0，…，m－1，有
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于是η0＝ηm＝λ1mλ2m…λmm＝1．
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记则
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于是η0＝［a1］［a2］…［an］＝ω．从而ω＝1．
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定理证毕． ▎
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定理的条件中，X道路连通可以去掉，因为当X不道路连通时，只用把它换成X0所在的道路分支．
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下面用母元和关系的语言来表述Van-Kampen定理．
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设拓扑空间X分解为开集X1与X2之并，使得交集X0＝X1∩X2非空并且道路连通．取定基点x0∈X0．设基本群π1（Xi，x0）有表示｛Ai，Ri｝，其中Ai是母元组，Ri为关系组，i＝0，1，2．记li∶X0→Xi是包含映射，i＝1，2．规定A1A2上的关系组
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R｛（l1）π（α）（l2）π（α-1）｜α∈A0｝．
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Van-Kampen定理 在上面的记号和约定下，π1（X，x0）有表示｛A1A2；R1R2R｝．
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（是无交并的记号）．
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