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13．．作可数集A＝｛xn｜xn≠x｝，则Ac是x的一个开邻域．由于xn→x，Ac含｛xn｝的几乎所有项，即结果．
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15．应用下面事实可使验证简便：
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1701049258
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的每个开邻域与A都有交点｝．
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16．用15题的结果验证．若U是X的非空开集，则由于A在X中稠密，U∩A是A的非空开集．又因为B是A的稠密子集，用15题，得到
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U∩B＝（U∩A）∩B≠∅．
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17．用15题的结果，设U是X的非空开集，则U∩A是X的非空开集，从而
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U∩（A∩B）＝（U∩A）∩B≠∅．
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1701049269
§2
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1701049271
1．利用定理1.1的（2）．
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2．．利用命题1.9及包含映射连续．
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．按定理1.1的（1）的结果验证f连续．设V是B的开集，则存在Y中开集U，使得V＝B∩U＝i-1（U）．于是
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f-1（V）＝f-1（i-1（U））＝（if）-1（U），
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因为if连续，（if）-1（U）是X的开集．
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3．即要证f｜A∶A→f（A）是同胚映射．它和它的逆映射的连续性都可用上题结果得到．
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4．X2到X1的一个同胚映射f可规定如下：
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f（x，y，z）＝（xez，yez）；
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X3到X2的一个同胚映射g可规定如下：
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1701049296
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5．根据命题1.8的（2），只要证∀x∈X，存在x的一个邻域∪，使得f｜U∶U→Y连续．
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取x的邻域U，使得它只与中有限个成员C1，C2，…，Cn相交．于是由f｜Ci连续，得到f｜U∩Ci连续．再用粘接引理得f｜U连续．
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