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3．设W是X1×X2的非空开集，则由乘积拓扑的定义，W可表示为其中Ua，Vα分别是X1，X2的非空开集，∀α⊂．于是分别是X1，X2的开集．
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4．要证F∶X→F（X）是同胚．一一性明显．用定理1.3得F∶X→X×Y连续，再用§2习题2的结果推得F∶X→F（X）连续．F-1∶F（X）→X是jX∶X×Y→X的限制，也连续．
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6．设＝｛（A1×A2）∩（U1×U2）｜Ui是Xi的开集｝
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＝｛V1×V2｜Vi是Ai的开集｝，
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所以既是A1×A2（作为X1×X2的子空间）的子空间拓扑的拓扑基，又是A1×A2的乘积拓扑的拓扑基．
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7．构造映射F∶X→E2为F（x）＝（f（x），g（x））．由定理1.3知F连续．F分别和由（x，y）x±y，（x，y）xy规定的E2到E1的连续映射复合，得到f±g，fg．因此f±g，fg都连续．
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9．［a，b）∈，从而是的开集．又因为
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也是开集，所以［a，b）是闭集．
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10．按命题1.12验证．记τ是X1×X2的乘积拓扑，则⊂τ．若U1，U2分别是X1和X2的开集，则从而τ的每个开集属于即
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第 二 章
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§1
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2．设x≠y，由T0公理，不妨设x有邻域U1，yU1．记则F是不含x，含y的闭集．由T3公理，存在x与F的不相交邻域U与V，它们是x与y的不相交邻域．
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3．设A⊂X．只要验证（A′）c是开集．
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∀x∈（A′）c，则x有开邻域U，使得（U｛x｝）∩A＝∅．由T1公理知，U｛x｝是开集，从而U｛x｝⊂（A′）c．于是U⊂（A′）c；所以x是（A′）c的内点．
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4．只要验证（Fixf）c是开集．
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