1701049375
1701049376
1701049377
9．［a，b）∈，从而是的开集．又因为
1701049378
1701049379
1701049380
1701049381
1701049382
也是开集，所以［a，b）是闭集．
1701049383
1701049384
1701049385
1701049386
1701049387
1701049388
10．按命题1.12验证．记τ是X1×X2的乘积拓扑，则⊂τ．若U1，U2分别是X1和X2的开集，则从而τ的每个开集属于即
1701049389
1701049390
第 二 章
1701049391
1701049392
§1
1701049393
1701049394
1701049395
1701049396
1701049397
2．设x≠y，由T0公理，不妨设x有邻域U1，yU1．记则F是不含x，含y的闭集．由T3公理，存在x与F的不相交邻域U与V，它们是x与y的不相交邻域．
1701049398
1701049399
3．设A⊂X．只要验证（A′）c是开集．
1701049400
1701049401
∀x∈（A′）c，则x有开邻域U，使得（U｛x｝）∩A＝∅．由T1公理知，U｛x｝是开集，从而U｛x｝⊂（A′）c．于是U⊂（A′）c；所以x是（A′）c的内点．
1701049402
1701049403
4．只要验证（Fixf）c是开集．
1701049404
1701049405
∀x∈（Fixf）c，则f（x）≠x，从而它们有不相交的开邻域U与V．作W＝f-1（U）∩V，则W是x的开邻域，并且W⊂（Fixf）c（验证略）．
1701049406
1701049407
5．只要验证（Gf）c是开集．
1701049408
1701049409
∀（x0，y0）∈（Gf）c，则f（x0）≠y0，从而f（x0）与y0有不相交的开邻域U与V，则f-1（U）×V是（x0，y0）的开邻域，并且容易验证f-1（U）×V⊂（Gf）c．
1701049410
1701049411
6．设x，y是X的两个不同点，于是（x，y）∈∆c．而∆c是开集，从而有X的开集U与V，使得（x，y）∈U×V⊂∆c，于是U，V是x，y的开邻域，且U∩V＝∅．
1701049412
1701049413
8．设X，Y都是Hausdorff空间，（x1，y1）与（x2，y2）是X×Y中的两个不同点．则x1≠x2或y1≠y2．不妨设x1≠x2，则X中有x1与x2的不相交的开邻域U与V．U×Y与V×Y就是（x1，y1）与（x2，y2）的不相交开邻域．
1701049414
1701049415
1701049416
1701049417
1701049418
9．设U与W是F与x的不相交开邻域．则由T3公理的等价条件，x有开邻域V，使得于是U，V是F和x的开邻域，且
1701049419
1701049420
1701049421
1701049422
10．设B1与B2是Y的两个不相交闭集，Ai＝f-1（Bi），i＝1，2．则A1，A2是X的不相交闭集，有不相交开邻域U1，U2．作则W1与W2是Y的两个开集，并且
1701049423
1701049424
