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如果W是S的一个开邻域，则由拓扑的定义知，W在E1中也是开集，从而是E1的稠密开集．于是W∩Q在E1中也稠密（见第一章§1习题17）．任取a在（R，τ）中的开邻域UA（其中U是E1的非空开集，A⊂S），则
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W∩（UA）⊃（W∩Q）∩U．
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由第一章§1习题第15题知（W∩Q）∩U非空，从而W∩（UA）非空．这样在（R，τ）中，S与a不存在不相交的开邻域．
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（3）∀x∈R，取则｛Un｝是x的一个可数邻域基．这说明（R，τ）满足C1公理．
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Q是（R，τ）的可数稠密子集，从而（R，τ）是可分的．
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（4）设A⊂S．因为R（SA）是（R，τ）的开集，所以就有（R（SA））∩S＝A是（S，τs）的开集．这说明S的每个子集都是（S，τs）的开集，从而（S，τs）是离散拓扑空间．
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（5）用反证法．如果（R，τ）满足C2公理，则（S，τs）也满足C2公理，从而应是可分的，与（4）矛盾．
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§2
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1．只证明
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根据定义，f（x）＝inf｛r∈QI｜x∈Ur｝，而从而
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若r∈QI满足则QI中任一大于r的数s，都有x∈Us，因此f（x）≤s．由QI在［0，1］上稠密，得出f（x）≤r．于是又有不等式
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2．把En看作E1×E1×…×E1，记
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f（x）＝（f1（x），f2（x），…，fn（x））．
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将每个fi扩张到X上得到规定为
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则是f的扩张．
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3．设r∶En→D是收缩映射，有ri＝id∶D→D，从而f＝rif∶A→D．映射if∶A→En可扩张为（上题结果），则是f的扩张．