1701049547
（3）作连续函数f∶A→E1为f（x）＝d（x，B）．f（A）紧致，从而存在x0，使得f（x0）是f（A）的最小值d（A，B）．但又因为所以d（A，B）＞0．
1701049548
1701049549
5．用反证法．如果X的无穷子集A没有聚点，则∀x∈X，有开邻域Ux，使得（Ux∩A）｛x｝＝∅．于是X的开覆盖｛Ux｜x∈X｝没有有限子覆盖，从而X不紧致．
1701049550
1701049551
1701049552
6．首先，单点集总是紧致的，从而X满足T1公理．设X的一个序列｛xn｝收敛到a，b≠a，则X｛b｝是包含a的开集，它必定包含了｛xn｝的几乎所有项，也就是说｛xn｝只有有限项为b．作子集A＝｛xn｜xn≠b｝∪｛a｝．则A紧致，从而是闭集．Ac是b的开邻域，它最多只能含｛xn｝的有限多项，从而xnb．
1701049553
1701049554
1701049555
1701049556
1701049557
1701049558
1701049559
1701049560
9．．如果闭集族之交则｛Ac｜A⊂｝是X的开覆盖，有有限子覆盖于是即不是有核的．
1701049561
1701049562
1701049563
1701049564
1701049565
1701049566
1701049567
1701049568
1701049569
．设是X的开覆盖，则闭集族＝｛Uc｜U∈｝之交为空集，即不是有核的，有有限个成员使得即U1，U2，…，Un是一个子覆盖．
1701049570
1701049571
1701049572
1701049573
1701049574
10．用引理，∀b∈B，有A和b的开邻域Ub与Vb，使得Ub×Vb⊂W．｛Vb｜b∈B｝构成B在Y中的开覆盖，有有限子覆盖令U与V即满足要求．
1701049575
1701049576
11．设A是X×Y的闭子集，要证明j（A）是X的闭集，即（j（A））c是开集．∀x∈（j（A））c，则｛x｝×Y＝j-1（x）⊂Ac．用引理，存在x的开邻域U，使得U×Y⊂Ac，即U⊂（j（A））c，于是x是（j（A））c的内点．
1701049577
1701049578
1701049579
1701049580
1701049581
1701049582
13．∀a∈A，则a∈U．由于X满足T3公理，存在a的开邻域Va，使得于是｛Va｜a∈A｝是A在X中的开覆盖，有有限子覆盖记则A⊂V，
1701049583
1701049584
1701049585
1701049586
1701049587
1701049588
1701049589
1701049590
1701049591
14．设A⊂X紧致，是在X中的开覆盖，则也是A的开覆盖，有有限子覆盖U1，U2，…，Un，即由上题知即U1，U2，…，Un也是关于的有限子覆盖．
1701049592
1701049593
15．必要性略．
1701049594
1701049595
充分性的证明，用反证法．如果X不紧致，则有序列｛xn｝，它没有收敛子序列．不妨设｛xn｝各项不相同，记A是｛xn｝中各项构成的子集．∀x∈X，x必有邻域不含A｛x｝的点，从而A是X的闭集，并且是离散的．作函数f0∶A→E1为f（xn）＝n，则f0连续，它可扩张到X上，得到X上的一个无界的连续函数．
1701049596