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15．必要性略．
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充分性的证明，用反证法．如果X不紧致，则有序列｛xn｝，它没有收敛子序列．不妨设｛xn｝各项不相同，记A是｛xn｝中各项构成的子集．∀x∈X，x必有邻域不含A｛x｝的点，从而A是X的闭集，并且是离散的．作函数f0∶A→E1为f（xn）＝n，则f0连续，它可扩张到X上，得到X上的一个无界的连续函数．
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16．按定义验证f-1（B）紧致，即对f-1（B）在X中的任一开覆盖，找出有限子覆盖．∀b∈B，也是紧致集f-1（b）的开覆盖，从而f-1（B）被中有限个成员盖满，记这有限个成员之并集为Wb．作则可验证Vb是b的开邻域，且f-1（Vb）⊂Wb．
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｛Vb｜b∈B｝又是B在Y中的开覆盖，有有限子覆盖则
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于是f-1（B）被中有限个成员盖满．
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17．设X局部紧致，A⊂X是闭集．∀x∈A，则x在X中有紧致邻域F．则F∩A是x在A中的紧致邻域（验证略）．
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18．（2）因为（X，τ）不紧致，所以｛Ω｝不是开集．于是就有（X*，τ*）的每个非空开集都与X相交，X在（X*，τ*）中稠密．
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（4）对于X中任意两个不同点，它们在（X，τ）中的不相交开邻域也就是在（X*，τ*）中的相交开邻域．对于x∈X和Ω，取x的紧致邻域K，则K与X*K就是x与Ω的不相交邻域．
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19．由定义可知，同胚空间的一点紧致化也同胚．于是本题只须证Sn｛N｝（N＝｛0，0，…，0，1｝）的一点紧致化同胚于Sn．作f∶（Sn｛N｝）*→Sn为
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则f是一一对应，且可验证f是连续开映射，从而是同胚映射．
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§4
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4．用反证法．如果X1不连通，则可分解为它的两个非空不相交开集A与B之并集．X1∩X2包含于其中之一，设X1∩X2⊂B．记则且A与都是X的非空开集，与X连通矛盾．
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（本题条件中的“X1，X2都是X的开集”可改为闭集，证法相同．）
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5．取X的两个不同点x0，x1．则｛x0｝，｛x1｝都是X的闭集．用Урысон引理，有（连续）函数f∶X→E1，使得f（x0）＝0，f（x1）＝1．因为X连通，［0，1］⊂f（X）．［0，1］不可数，因而X也不可数．
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6．设X局部连通，A是X的开集，x∈A．设U是x在A中的邻域，则U也是x在X中邻域．于是存在x在X中的一个连通邻域V⊂U．V也是A中的连通集．
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8．用命题2.23．∀r∈Q，作Ar＝｛（x，y）｜x＝r或y＝r｝，则Ar连通，并且又∀r，Ar∩A0≠∅．
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