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§4
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4．用反证法．如果X1不连通，则可分解为它的两个非空不相交开集A与B之并集．X1∩X2包含于其中之一，设X1∩X2⊂B．记则且A与都是X的非空开集，与X连通矛盾．
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（本题条件中的“X1，X2都是X的开集”可改为闭集，证法相同．）
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5．取X的两个不同点x0，x1．则｛x0｝，｛x1｝都是X的闭集．用Урысон引理，有（连续）函数f∶X→E1，使得f（x0）＝0，f（x1）＝1．因为X连通，［0，1］⊂f（X）．［0，1］不可数，因而X也不可数．
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6．设X局部连通，A是X的开集，x∈A．设U是x在A中的邻域，则U也是x在X中邻域．于是存在x在X中的一个连通邻域V⊂U．V也是A中的连通集．
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8．用命题2.23．∀r∈Q，作Ar＝｛（x，y）｜x＝r或y＝r｝，则Ar连通，并且又∀r，Ar∩A0≠∅．
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9．是X的有核闭集族．由§3习题第9题知道下面用反证法证明它连通．如果可分解为它的两个不相交非空闭集A和B之和，则A和B都是X的闭集，有不相交的开邻域U和V．
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令X0＝（U∪V）c，则X0也紧致．记0＝｛F∩X0｜F∈｝，则0是X0中的一个闭集族，并且于是0是无核的，存在有限个成员F1∩X0，F2∩X0，…，Fn∩X0（Fi∈），它们的交集为∅．于是即由于连通，它必包含于U，V之一，从而包含在U，V之一，矛盾．
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10．作f∶U→E1为则f连续，且
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在f（U）中，a点所在的连通分支就是｛0｝，可知U中含（0，0）点的连通分支在f-1（0）＝B｛（0，-1）｝中，就是B｛（0，-1）｝．
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§5
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1．任取Sn中两点x0，x1．再取y不同于x0，x1．则是道路通的，从而存在Sn｛y｝中的道路a，使得a（i）＝xi（i＝0，1）．a也是Sn上连结x0，x1的道路．
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