1701049647
1701049648
1701049649
1701049650
1701049651
1701049652
1701049653
1701049654
1701049655
1701049656
1701049657
1701049658
1701049659
令X0＝（U∪V）c，则X0也紧致．记0＝｛F∩X0｜F∈｝，则0是X0中的一个闭集族，并且于是0是无核的，存在有限个成员F1∩X0，F2∩X0，…，Fn∩X0（Fi∈），它们的交集为∅．于是即由于连通，它必包含于U，V之一，从而包含在U，V之一，矛盾．
1701049660
1701049661
1701049662
10．作f∶U→E1为则f连续，且
1701049663
1701049664
1701049665
1701049666
1701049667
在f（U）中，a点所在的连通分支就是｛0｝，可知U中含（0，0）点的连通分支在f-1（0）＝B｛（0，-1）｝中，就是B｛（0，-1）｝．
1701049668
1701049669
§5
1701049670
1701049671
1701049672
1701049673
1．任取Sn中两点x0，x1．再取y不同于x0，x1．则是道路通的，从而存在Sn｛y｝中的道路a，使得a（i）＝xi（i＝0，1）．a也是Sn上连结x0，x1的道路．
1701049674
1701049675
2．设x0，x1是A中两个不同点，则E2上有不可数条圆弧以x0，x1为两端，并且任何两条这种圆弧除x0，x1外无其他交点．因此一定有圆弧不过Ac中的点，即在A中．于是x0，x1可用A中道路连结．
1701049676
1701049677
3．设（x0，y0）和（x1，y1）是X×Y中两点，X与Y都道路连通．则有X中道路a，以x0，x1为起终点，又有Y中道路b，以y0，y1为起终点．作X×Y中道路c为
1701049678
1701049679
c（t）＝（a（t），b（t））， ∀t∈I，
1701049680
1701049681
则c连结（x0，y0）和（x1，y1）．
1701049682
1701049683
4．a-1（X1）和a-1（X2）是I的两个非空开集，并且a-1（X1）∪a-1（X2）＝I．由于I连通，a-1（X1）∩a-1（X2）＝a-1（X1∩X2）≠∅．
1701049684
1701049685
5．证X1道路连通．由于X1∩X2是X1的道路连通子集，只用证明：∀x0∈X1X2，x0与X1∩X2在X1的同一道路分支中．由于X道路连通，有X中道路a，a（0）＝x0，a（1）＝x1∈X2．由上题知a-1（X1∩X2）非空．设其下确界为t0，则［0，t0］⊂a-1（X1）．因为a-1（X1）是I的开集，所以有ε＞0，使得［0，t0＋ε）⊂a-1（X1）．由t0的定义知存在t1∈［t0，t0＋ε），使得a（t1）∈X1∩X2．则x0与a（t1）在同一道路分支中，即x0与X1∩X2在同一道路分支中．
1701049686
1701049687
6．在题4中，若把X1，X2都是开集的条件改为都是闭集，结论仍成立．然后用题5的方法证本题．
1701049688
1701049689
§6
1701049690
1701049691
1701049692
1701049693
3．f（S1）是E1的紧致连通子集，因而为有界闭区间或一点．于是f（S1）≠E1，即f不是满映射．又如果f是单的，则由2题知这是不可能的．
1701049694
1701049695
4．f（S2）是E1的紧致连通子集，为有界闭区间［a，b］（或一点t，此时f-1（t）＝S2不可数）．∀t∈（a，b），由于f（S2f-1（t））＝［a，t）∪（t，b］不连通，S2f-1（t）必定不连通，f-1（t）是不可数集．
1701049696