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在f（U）中，a点所在的连通分支就是｛0｝，可知U中含（0，0）点的连通分支在f-1（0）＝B｛（0，-1）｝中，就是B｛（0，-1）｝．
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§5
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1．任取Sn中两点x0，x1．再取y不同于x0，x1．则是道路通的，从而存在Sn｛y｝中的道路a，使得a（i）＝xi（i＝0，1）．a也是Sn上连结x0，x1的道路．
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2．设x0，x1是A中两个不同点，则E2上有不可数条圆弧以x0，x1为两端，并且任何两条这种圆弧除x0，x1外无其他交点．因此一定有圆弧不过Ac中的点，即在A中．于是x0，x1可用A中道路连结．
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3．设（x0，y0）和（x1，y1）是X×Y中两点，X与Y都道路连通．则有X中道路a，以x0，x1为起终点，又有Y中道路b，以y0，y1为起终点．作X×Y中道路c为
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c（t）＝（a（t），b（t））， ∀t∈I，
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则c连结（x0，y0）和（x1，y1）．
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4．a-1（X1）和a-1（X2）是I的两个非空开集，并且a-1（X1）∪a-1（X2）＝I．由于I连通，a-1（X1）∩a-1（X2）＝a-1（X1∩X2）≠∅．
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5．证X1道路连通．由于X1∩X2是X1的道路连通子集，只用证明：∀x0∈X1X2，x0与X1∩X2在X1的同一道路分支中．由于X道路连通，有X中道路a，a（0）＝x0，a（1）＝x1∈X2．由上题知a-1（X1∩X2）非空．设其下确界为t0，则［0，t0］⊂a-1（X1）．因为a-1（X1）是I的开集，所以有ε＞0，使得［0，t0＋ε）⊂a-1（X1）．由t0的定义知存在t1∈［t0，t0＋ε），使得a（t1）∈X1∩X2．则x0与a（t1）在同一道路分支中，即x0与X1∩X2在同一道路分支中．
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6．在题4中，若把X1，X2都是开集的条件改为都是闭集，结论仍成立．然后用题5的方法证本题．
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§6
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3．f（S1）是E1的紧致连通子集，因而为有界闭区间或一点．于是f（S1）≠E1，即f不是满映射．又如果f是单的，则由2题知这是不可能的．
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4．f（S2）是E1的紧致连通子集，为有界闭区间［a，b］（或一点t，此时f-1（t）＝S2不可数）．∀t∈（a，b），由于f（S2f-1（t））＝［a，t）∪（t，b］不连通，S2f-1（t）必定不连通，f-1（t）是不可数集．
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第 三 章
1701049698
1701049699
§1
1701049700
1701049701
1．平环．
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1701049703
3．环面．
1701049704
1701049705
§2
1701049706
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3．记p∶X×I→CX是粘合映射，a＝p（x，1）为锥顶．则CX｛a｝是CX的开集，且同胚于X×［0，1），从而是Hausdorff空间．于是CX中异于a的两点在CX｛a｝中有不相交开邻域，从而在CX中有不相交开邻域．CX中异于a的点可表示为p（x，t），这里t＜1．取s∈（t，1），则p（X×［0，s））与p（X×（s，1］）是p（x，t）与a的不相交开邻域．
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4．记p∶X→X/A为粘合映射，a＝p（A）．如果X/A中两点b和c都不是a，则p-1（b）与p-1（c）是XA中两点，它们在XA中有不相交开邻域U与V．p（U）与p（V）就是b与c的不相交开邻域．对于X/A中点b≠a，p-1（b）∈XA．X满足T2公理，A紧致，从而p-1（b）与A有不相交的开邻域U与V（见命题2.17），则p（U）与p（V）是b与a的不相交开邻域．
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5．（1）显然f满、连续．设V⊂［0，1］，则f-1（V）∩［0，1］＝V．如果f-1（V）是（-1，2）的开集，则V一定也是［0，1］的开集．
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