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3．f（S1）是E1的紧致连通子集，因而为有界闭区间或一点．于是f（S1）≠E1，即f不是满映射．又如果f是单的，则由2题知这是不可能的．
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4．f（S2）是E1的紧致连通子集，为有界闭区间［a，b］（或一点t，此时f-1（t）＝S2不可数）．∀t∈（a，b），由于f（S2f-1（t））＝［a，t）∪（t，b］不连通，S2f-1（t）必定不连通，f-1（t）是不可数集．
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第 三 章
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§1
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1．平环．
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3．环面．
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§2
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3．记p∶X×I→CX是粘合映射，a＝p（x，1）为锥顶．则CX｛a｝是CX的开集，且同胚于X×［0，1），从而是Hausdorff空间．于是CX中异于a的两点在CX｛a｝中有不相交开邻域，从而在CX中有不相交开邻域．CX中异于a的点可表示为p（x，t），这里t＜1．取s∈（t，1），则p（X×［0，s））与p（X×（s，1］）是p（x，t）与a的不相交开邻域．
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4．记p∶X→X/A为粘合映射，a＝p（A）．如果X/A中两点b和c都不是a，则p-1（b）与p-1（c）是XA中两点，它们在XA中有不相交开邻域U与V．p（U）与p（V）就是b与c的不相交开邻域．对于X/A中点b≠a，p-1（b）∈XA．X满足T2公理，A紧致，从而p-1（b）与A有不相交的开邻域U与V（见命题2.17），则p（U）与p（V）是b与a的不相交开邻域．
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5．（1）显然f满、连续．设V⊂［0，1］，则f-1（V）∩［0，1］＝V．如果f-1（V）是（-1，2）的开集，则V一定也是［0，1］的开集．
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（2）（1，2）是（-1，2）的开集，但是f（（1，2））＝｛b｝，不是［0，1］的开集，说明f不是开映射．
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（-1，0］是（-1，2）的闭集，但是f（（-1，0］）＝［0，1）不是［0，1］的闭集，说明f不是闭映射．
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6．作f∶I×I→S1×S1为f（x，y）＝（ei2πx，ei2πy）．则f是连续满射．又由于I×I紧致，S1×S1是Hausdorff空间，f是商映射．I×I的等价关系导出I×I的对边粘合（验证略），因此
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7．用复数表示E2上的点，规定连续满映射f∶E2→E2为
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只要再证明f是闭映射，就可知道f是商映射，等价关系就是把D2捏为一点，从而
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设A是E2的闭集．
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（1）如果A是有界闭集，则A紧致，从而f（A）紧致，是E2的闭集．
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（2）如果A与D2不相交，则d（A，0）＝1＋ε，ε＞0．利用f｜E2D2∶E2D2→E2｛0｝是同胚映射，得到f（A）是E2｛0｝的闭集，并且f（A）⊂E2B（0，ε），从而是E2的闭集．
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（3）一般情形，将A表成A＝A1∪A2，其中A1，A2分别适合（1），（2）的要求，从而f（A）＝f（A1）∪f（A2）是E2的闭集．
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