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（x′，y′，z′）∈S2，因此x′，y′，z′中至少有一个不为0．
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1701049769
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若x′或y′不为0，不妨设x′≠0，记则
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y′＝λy，z′＝λz．
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1701049774
于是λ2x′2－y2＝x′2－λ2y2，即λ2（x′2＋y2）＝x′2＋y2．因而λ2＝1，λ＝±1．于是（x′，y′，z′）＝±（x，y，z）．
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1701049776
若x′＝y′＝0，则｜z′｜＝1．再由前两式得到
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x2－y2＝0， xy＝0．
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1701049780
推得x＝y＝0，｜z｜＝1．也有
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1701049782
（x′，y′，z′）＝±（x，y，z）．
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1701049784
13．若f（x，y）＝f（x′，y′），则有
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1701049786
cos2xπ＝cos2x′π， cos2yπ＝cos2y′π； sin2yπ＝sin2y′π；sin2xπcosπy＝sin2x′πcosπy′； sin2xπsinπy＝sin2x′πsinπy′．由第二、三两式得出y＝y′或｜y－y′｜＝1．
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若y＝y′．则由第四式和第五式推出sin2xπ＝sin2x′π．它和第一式一起推出x＝x′或｜x－x′｜＝1．
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1701049790
若｜y－y′｜＝1，不妨设y＝0，y′＝1．则第四式化为sin2xπ＝－sin2x′π．它与第一式一起推出x＋x′＝1．
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总之，若f（x，y）＝f（x′，y′），则是下列三种情形之一：
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（1）x＝x′，y＝y′；
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（2）x，x′中一个为0，另一个为1，y＝y′；
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（3）x＋x′＝1，y，y′中一个为0，另一个为1．
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不难看出是Klein瓶．
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14．作p∶D2＋D2→S2为
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则容易验证p是商映射，且就是i∶S1→D2决定的等价关系．于是
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1701049812
