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（1）x＝x′，y＝y′；
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（2）x，x′中一个为0，另一个为1，y＝y′；
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（3）x＋x′＝1，y，y′中一个为0，另一个为1．
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不难看出是Klein瓶．
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14．作p∶D2＋D2→S2为
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则容易验证p是商映射，且就是i∶S1→D2决定的等价关系．于是
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15．作为
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则p是满的连续闭映射，因而是商映射，且就是所决定的等价关系．于是
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§3
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1．设M是n维流形．∀x∈M，设U是x的开邻域，U同胚于En或于是U满足C1公理，从而x在U中有可数邻域基，它也是x在M中的可数邻域基（验证略）．
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2．设M是紧致n维流形，则M有一个有限开覆盖｛U1，U2，…，Un｝，其中每个Ui同胚于En或E，从而满足C2公理．对每个Ui取可数拓扑基i，则是M的可数拓扑基．
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3．紧致流形满足C2公理，是紧致Hausdorff空间，从而也满足T4公理．用Урысон嵌入定理知它可度量化．
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4．记p∶E1→E1/～是粘合映射．可以验证p是开映射．（只用对每个开区间（a，b），验证p（a，b）是开集，即要说明p-1（p（a，b））是E1的开集．可区分a，b的各种情形进行讨论．）于是可知p（-∞，1）和p（-1，+∞）构成E1/～的开覆盖，且它们都同胚于E1（例如，p｜（-∞，1）：（-∞，1）→p（-∞，1）是同胚映射）．这样前半结论得证．
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记x＝p（-1），y＝p（1），U，V是它们的任意一对开邻域，则p-1（U），p-1（V）分别是含-1，1的开集，存在ε＞0，使得（-1－ε，-1＋ε）⊂p-1（U），（1－ε，1＋ε）⊂p-1（V）．于是p（-1－ε，-1）＝p（1，1＋ε）⊂U∩V，从而U∩V≠∅．
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