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8．用反证法．假设f没有不动点．规定S1上的对径映射为h∶S1→S1，即h（z）＝-z，∀z∈S1．因为∀z∈S1，f（z）≠z＝-h（z），由例2知而h与id同伦（请读者自证），从而与条件相违，故f无不动点．
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§2
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1．当X是平凡拓扑空间时，任何映射f∶Y→X都连续．于是X中任何两条有相同起终点的道路都定端同伦，于是π1（X，x0）只有一个元素．
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2．离散拓扑空间的每个道路分支都是单点集，从而它的道路都是点道路，以x0为起终点的闭路就只有一条，从而π1（X，x0）只有一个元素．
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3．理由同第2题．
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5．因为rπiπ＝（ri）π是恒同，得结论．
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6．是闭路，X单连通，则定端同伦于点道路e，于是
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7．∀α∈π1（X，x0），ω-1αω＝ω′-1αω′
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∀α∈π1（X，x0），αωω′-1＝ωω′-1α．
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8．．∀α，β∈π1（X，x0）．取ω，ω′是x0到x1的两个道路类，使得ωω′-1＝β．由于得到αβ＝βα（见上题）．
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．设ω，ω′是x0到x1的两个道路类，则就有ωω′-1∈π1（X，x0）．于是，∀α∈π1（X，x0），αωω′-1＝ωω′-1α．再由上题，得
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§3
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1．记a0∶I→S1为a0（t）＝ei2πt，b0∶I→S1为b0（t）＝-ei2πt＝f（a0（t）），则〈a0〉和〈b0〉分别生成π1（S1，1）和π1（S1，-1），并且fπ（〈a0〉）＝〈b0〉．
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2．a0如上题，则fπ（〈a0〉）＝〈a0〉n．因为π1（S1，1）由〈a0〉所生成，所以∀α∈π1（S1，1），有fπ（α）＝αn．（若用加法记号，则可表示为fπ（α）＝nα．）
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3．用§1的习题6．
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4．用上题，分别在左右两个圆周上构造relx0的同伦，拼成所要的同伦．
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5．平环同胚于S1×I，用定理4.4．
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