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1701049999
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10．设a0是沿着A走一圈的x0处的闭路，则〈a0〉生成π1（A，x0），但在X中，〈a0〉是一生成元的两倍．
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11．若有收缩映射r∶X→A，则rπ∶π1（X）→π1（A）是满同态，从而（由rπ是同构．又因为rπiπ是恒同，得出iπ是同构，与10题结论矛盾．
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12．作r∶Dn｛x0｝→Sn－1｛x0｝如下：∀x∈Dn｛x0｝，r（x）是射线x0x与Sn－1的交点．利用例5前的说明，知Sn－1｛x0｝是Dn｛x0｝的形变收缩核（Dn｛x0｝是凸集）．
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14．用反证法．如果则可得出从而而n＞1时，Sn－1单连通，S1不单连通，矛盾．
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15．用反证法．若则D2｛O｝同胚于Dn去掉一点，后者单连通，前者不单连通，矛盾．
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16．不妨设l是z轴，则E3l以E2｛O｝为形变收缩核．
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§5
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3．设En｛x1，x2，…，xm｝＝Xm．作xm的球形邻域B（xm，ε），使得它不含x1，…，xm－1，则Xm－1＝Xm∪B（xm，ε），Xm∩B（xm，ε）＝B（xm，ε）｛xm｝是单连通的．用Van-Kampen定理，得到
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∀m∈N．
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于是平凡．
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4．（1）同构于Z*Z*Z；
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（2）同构于Z*Z；
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（3）同构Z*Z*Z*Z．
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5．（1）同构于Z*Z；
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（2）同构于Z*Z*Z*Z*Z；
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（3）同构于Z*Z*Z*Z．
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6．同构于Z3＝Z/3Z．
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8．（1）作收缩映射r∶E2→D2为
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