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于是平凡．
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4．（1）同构于Z*Z*Z；
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（2）同构于Z*Z；
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（3）同构Z*Z*Z*Z．
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5．（1）同构于Z*Z；
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（2）同构于Z*Z*Z*Z*Z；
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（3）同构于Z*Z*Z*Z．
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6．同构于Z3＝Z/3Z．
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8．（1）作收缩映射r∶E2→D2为
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则rf∶D2→D2有不动点，不难验证当rf（x）＝x时，f（x）＝x．
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（2）作r如（1），则rf有不动点，且不动点不在S1上，从而也必是f的不动点．
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（3）用反证法．若f无不动点，则可作g∶D2→S1为
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则g连续，且于是零伦，矛盾．
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（（1）和（2）也可用（3）的方法证．）
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9．用反证法．如果存在则于是D2｛x0｝以S1为收缩核．记r为一收缩映射，则rf∶D2→S1是收缩映射．这与S1不单连通相矛盾．
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10．方法一 记X1是X中第3个坐标不小于0的点的集合，X2是第3个坐标不大于0的点的集合．则X＝X1∪X2，X1，X2都单连通，并且X1∩X2道路连通．用Van-Kampen定理，得X单连通．
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方法二 用Van-Kampen定理不难得到下面结论：对任何两个整数单连通．