打字猴:1.701050093e+09
1701050093 4.设W是X的一个开集,要证p(W)是X/f的开集.∀y∈p(W),设y=p(x),x∈W.取x的开邻域V,使得V,f(V),…,fn-1(V)两两不相交,并且V⊂W.于是p(V)是含于p(W)的开集,且含y,从而y是p(W)的内点.
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1701050095 7.F/f可看作F的一半把边界圆周的对径点粘合而得商空间,也即T2上安一个交叉帽,因此是3P2型曲面.
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1701050097 8.不是.S1上点ei2πα和ei2πb没有基本邻域.
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1701050099 9.同第8题.
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1701050105 12.利用定理5.1或直接证明:记φ∶X→B是由b∈B决定的常值映射,是φ的一个提升.则因为p-1(b)离散,连通,所以是一点.
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1701050112 13.取定V中一点e0,记b0=p(e0)∈U.对U中任一点b1,有U中道路a,连结b0和b1.记是a的提升,它以e0为起点,则从而在V中.于是这样就得到U⊂p(V).显然p(V)⊂U.从而p(V)=U.
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1701050114 14.只要证明p|V∶V→U是单的.
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1701050119 用反证法.假设p|V不单,它把V中两个不同点e0和e1映为U中同一点b0.取是V中从e0到e1的道路,则是U在b0处的闭路.因为iπ∶π1(U)→π1(B)平凡,所以a在B中定端同伦于b0处的点道路,从而它在e0处的提升一定是闭路,与假设矛盾.
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1701050121 (本题还可用下节中的定理5.3,见下节习题2的解答.)
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1701050123 15.设U是底空间B的半单连通开子集.由13题知,p-1(V)的每个道路分支Vα满足p(Vα)=U,由第14题知p|Vα∶Vα→U还是同胚,从而U是基本邻域.
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1701050125 16.记U是B的一个半单连通的开子集,则p-1(U)的每个分支Vα也半单连通.
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1701050132 17.∀b∈B,设U是b的一个半单连通开邻域,则U是p∶E→B的基本邻域.p-1(U)的每个分支也都半单连通,从而又都是的基本邻域.于是分解为E1中的许多开集之并,每个开集被同胚地映射成p-1(U)的一个分支,从而被同胚地映射成U.这说明U也是的基本邻域.
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1701050136 18.∀b∈B.设p-1(b)={e1,e2,…,en}.可取b的基本邻域U,使得p-1(U)的各分支V1,…,Vn分别是e1,…,en的在下的基本邻域.类似于第17题,可证明这样的U也是的基本邻域.
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1701050138 §2
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1701050140 1.设F是常值映射到f的一个同伦,则F可以提升(定理5.2),得到本题的结论.
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