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（2）（1） 如果K不连通．设K＝K1∪K2，K1和K2都是K的非空子复形，且K1∩K2＝∅．则｜K｜＝｜K1｜∪｜K2｜，且｜K1｜∩｜K2｜＝∅，这与｜K｜连通矛盾．
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10．设是K的一个维数大于2的极大单形（它不是K中别的单形的面）．则由Van-Kampen定理不难得到
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仍是连通复形，逐个去掉K中所有大于2维的单形，得到本题结论．
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§2
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3．任何两个K中n维单形最多只有一个公共的n－1维面，于是K的任何一个n维定向单形s的n＋1个顺向面至少有一个不是任何别的n维单形的面．下面证明Cn（K）的每个非零链一定不是闭链，由此得到Zn（K）＝0．
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设cn∈Cn（K），cn≠0．不妨设cn（s）≠0，s是K的一个n维定向单形．记t是s的一个顺向面，它不是别的n维单形的面．于是∂cn（t）＝cn（s）≠0，从而cn不是闭链．
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4．首先从直观上容易看出（也可给出严格论证），E2上的每个2维复形至少有一个2维单形“在边上”（即它有1维面不是别的2维单形的面）．
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设c2∈C2（K），c2≠0．设c2在2维定向单形s1，s2，…，sn上取不为0的值，在别的2维定向单形上的值为0．记L是由及它们的全部面构成的K的子复形．并设在L的边上．则有的1维顺向面t，它不是s2，…，sn的面．于是∂c2（t）＝c2（s1）≠0．从而∂C2≠0．因为L是子复形，c2在K上的边缘链与在L上的边缘链相同，所以这样Z2（K）＝0．
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§3
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2．只用证q＝1的情形，其余情形由第1题得到．
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显然C1（K）＝C1（K1）⊕C2（K2），Z1（K1）⊕Z2（K2）⊂Z1（K）．设z1∈Z1（K），且z1＝c1＋c2，ci∈C1（Ki）（i＝1，2）．于是，∂c1＋∂c2＝0．而∂c1＝-∂c2在K0＝a0中，它必为na0．又从指数的意义知n＝0．于是∂c1＝∂c2＝0，ci∈Z1（Ki）（i＝1，2）．于是Z1（K）＝Z1（K1）⊕Z2（K2）．作商群得到结论．
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3．（1）设z＝c1＋c2，ci∈C1（Ki）（i＝1，2）．则∂c1＋∂c2＝0．而∂c1＝-∂c2是K0中指数为0的0维链，从而由K0的连通性得知存在K0的一个1维链c3使得∂c3＝∂c1．记z1＝c1－c3，z2＝c2＋c3，则∂zi＝0，且z＝z1＋z2．
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（2）证法类似（1）．
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（3）设c∈Cq＋1（K），∂c＝z1＋z2．记c＝c1＋c2，ci∈Cq＋1（Ki）（i＝1，2）．则∂c1＋∂c2＝z1＋z2，从而∂c1－z1＝-∂c2＋z2是K0中的闭链．由于Hq（K0）＝0，∂ci－zi∈Bq（Ki），从而zi∈Bq（Ki）（i＝1，2）．
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4．利用上题的结果．
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§4
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2．
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