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毕达哥拉斯定理作为数学知识一部分，在巴比伦人的泥板、印度的《绳法经》和中国的《周髀算经》中，都是以实际应用的形式展现出来的：普林顿322号是出于教育的考虑，《绳法经》是出于宗教的考虑，《周髀算经》则是出于天文研究的考虑。古书都没有给出该定理的直接明确的证明，而只是把它作为一种计算距离、验证结果的方法。不过形式偶尔还是有严谨的时候。
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毕达哥拉斯定理在数学上众多的里程碑中无疑是独一无二的。它的表现形式丰富多彩，平淡中包含诗意。在几千年的历史长河中，它被用于土地丈量、运河开挖、晾衣绳搭设、人行道铺设、马路和沟渠建造等诸多方面。有一篇埃及的手稿这样写道：“塔上倚着一个梯子，梯子长10腕尺［9］，底部离墙6腕尺，问梯子有多高。”还有一篇中世纪时的手稿是这么写的：“墙上倚着一个长20英尺（1英尺＝30.48厘米）的矛，如果矛的底部向外移动12英尺，那么此时矛在墙上所倚的高度是多少？”印度的书是要读者计算池塘的深度，池塘上还有红鹅游来游去。问题是这样的：荷花苞尖一开始在水面之上9英寸（1英寸＝2.54厘米）的位置，突然刮来一阵风，荷花苞尖被吹到了水下40英寸的位置，问池塘的深度是多少？当然，荷花的茎是扎在水底的。这样的问题使数学变得有趣。
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毕达哥拉斯定理已经成为人类知识的典范，对它的了解体现了人类的智慧。在电影《绿野仙踪》（Wizard of Oz）的结尾，为了证明自己的确有头脑了，稻草人（Scarecrow）笨手笨脚地将这条定理加以改编：“等腰三角形任意两边的平方根之和等于另一边的平方根。”这种轻率的陈述真是绝了，我们作为观众自然也不会去学。就让它一直留在童话里吧。
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毕达哥拉斯定理：证明
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然而，定理的证明和定理本身有着天壤之别。证明需要从第一原理出发，给出结果的一般有效性。它研究的是定理本身，与定理的实际用途无关。它侧重于结论推导的过程（这样才能令人信服），而非结果。证明所叙述的是人们理解方程的过程。因此，要给出定理的证明，就要以不同视角看待数学，而不能简单地陈述定律。证明不是对权威的维护，而是对真知的认可。证明不是简单地把前人的智慧作为代表作传授下来。恰恰相反，它应该是天才之笔。证明并不是说“事实就是这样”或者“天才告诉我们就是这样的”。相反，对结果的证明是任何人 都可以参与的“旅程”，至少从原则上来说是这样。这得益于人们目前已有的诸多数学定义和数学概念。因此，实际上定理的证明是说：“照着这个做，就能发现其实我们已经 知道了要推出结果的全部步骤！”因此，定理的证明实际上是建立了一个路标，任何人只要循着这个路标指示的路线走下去，就能到达终点。人们可以对此有充分的信心，指导自己踏上更多探索未知的道路。正是有了通过证明关键方程而建立起的路标，数学才从复杂的地貌变成了一幅风景。数学的其他部分仍旧存在，只不过它们是在风景的背景中而已。
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虽然传统上，人们认为斜边定律的第一个证明是毕达哥拉斯（约公元前569—前475年）给出的，不过这个说法是在其后500年首次提出的。其实事实并非如此［10］。该定理的证明思想起源于古希腊时代，经历了几百年才形成的。这一阶段的顶峰是欧几里得的《几何原本》。《几何原本》完全以明确、正式的证明形式把数学呈现出来。第1册的倒数第2个命题就是毕达哥拉斯定理的证明：直角三角形中，直角对边边长的平方等于另两边的平方和。第1册的最后一个证明（命题48）则是其逆定理：如果三角形某条边边长的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。证明如下：沿着三角形的三条边分别画出三个正方形。从直角的顶点出发，垂直于斜边画一条线，并延长到斜边所对应正方形的对边。这样，将大正方形分割成两个矩形，每个矩形的面积就分别等于两个小正方形的面积：两个小正方形的面积之和就等于斜边上的正方形的面积。有趣的是，欧几里得的证明与图中直线构成的图形联想到一起。人们按图形暗示出的有趣形状，把它称为风车证明法、孔雀证明法或花轿证明法。
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说明欧几里得《几何原本》中一个证明的经典图形
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任何一个伟大发现的背后，似乎都有一种难以抑制的冲动：去看看之前是否也有人提出了该发现，或者虽然发现了却没记录下来，或者是与发现擦肩而过。毕达哥拉斯定理（似乎我们注定要这么叫了）也不例外。历史学家发现，人们证明毕达哥拉斯定理的能力似乎是文明进步程度的一种标志。他们根据普林顿322、《绳法经》、《周髀算经》和其他资料，对巴比伦、印度和中国发现毕达哥拉斯定理的情况进行研究［11］。不过在研究过程中，很容易混淆或忽视毕达哥拉斯定理的经验法则和毕达哥拉斯定理的证明两者的不同。
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新证法
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人们有时候会自己踏上“旅程”，去发现毕达哥拉斯定理，而并不依靠教师的帮助。法国数学家和哲学家布莱斯·帕斯卡（Blaise Pascal）就是这样一个人。帕斯卡的父亲不允许他在家中讨论数学，怕会影响他的希腊语和拉丁语学习，认为语言的学习最重要。但小帕斯卡凭着一根炭笔就开始了几何学的研究。他在欧几里得《几何原本》中找到了许多证明，其中就有毕达哥拉斯定理［12］。
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发现定理的新证法是完全可能的。如果说在数学的诸多里程碑中，毕达哥拉斯定理所囊括的应用和实例范围是独一无二的，那么它的证明法之多也同样是独一无二的。大多数证明虽以相同的公理作为基础，但证明的过程却各有不同。这中间的许多证法，特别是苏格拉底、欧几里得等给出的最早的证明，以及之后《周髀算经》中给出的证明采用的都是几何方法。其中，a、b和c指的是三角形各边的边长。证明的方法是通过几何运算，得出面积之间的关系。其他证明采用的是代数法，以复杂的数学（数字代表抽象的事物，甚至可能是向量）为基础。有些所谓的证明，假定结果可以通过毕达哥拉斯定理得到证明，最终变成了循环论证。代数方法（巴比伦人理解该方法）产生了毕达哥拉斯定理的c2＝a2＋b2的形式。
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公元4世纪，希腊（亚历山大里亚的）几何学家帕普斯发现了一个定理，扩展了欧几里得几何。几个世纪之后，住在巴格达的阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉（Thabit Ibn Qurra，836—901年）提出了几个新的证法，并修改了先前的《几何原本》译本。两个半世纪之后，印度数学家婆什迦罗（出生于1114年）为《周髀算经》中证明方法的简洁所深深吸引。他随后采用简单的图形形式，对《几何原本》进行了修改。新版《几何原本》的证明里不再有文字解释，只有两个字“见图”。
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后来，意大利艺术家列奥纳多·达芬奇（Leonard da Vinci）、荷兰科学家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）和德国哲学家特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Leibniz，1646—1716年）都给出了新的证明。1876年，美国国会议员詹姆斯·加菲尔德（James Garfield）也给出了证明。他后来成为美国第20任总统。有关毕达哥拉斯定理证明的集子已有十多种：1779年，在巴黎出版了18种证明法；1880年，德国出现了提供46种证明法的专著；1914年，在荷兰出版了96种证明法。《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）是科学家一般都会关注的杂志，自1894年创办之日起第一期就开始刊登毕达哥拉斯定理的证明。该杂志略带些傲慢地提到：问题求解“是数学研究的最低级形式之一”，用于应用，却没有科学价值。但该杂志却“专门开辟版面用于问题求解”，诸如毕达哥拉斯定理之类，起到教育的作用。“问题求解是引导思维进入更高级的原创性研究领域的阶梯。许多原本智力平平的人在掌握了某一个问题求解后，跨入到研究的行列中。”［13］1901年，在发表了毕达哥拉斯定理的第100个证明之后，《美国数学月刊》的编辑放弃了，宣布“该定理的证法是无穷无尽的，本刊今后将不再接受此类稿件”。
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詹姆斯·加菲尔德给出的毕达哥拉斯定理证法的示意图
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但有一个人仍乐此不疲。这个人叫伊莱沙·卢米斯（Elisha S. Loomis），职业是教师。他是《美国数学月刊》的订户，也曾给出过一些证明。卢米斯一直都在收集定理的证法。这些证法很多都是由一些颇为聪颖的年轻人的老师转交给他的，这些教师知道卢米斯对此颇有兴趣。1927年，卢米斯（此时的他已是大学教授）出版了《毕达哥拉斯命题》一书，收集了230个证法；1940年，87岁的卢米斯又出版了该书的第二版，收集了370个证法［14］。他将两本书都献给了共济会分会。他依据证明的内容，把它们分为几何证法、代数证法、动态证法和四元数证法。其中的大部分都是几何证法：第31种证法是惠更斯给出的，第33种是欧几里得给出的，第46种是达芬奇给出的，第225种是婆什迦罗给出的，第231种是加菲尔德给出的，第243种是《周髀算经》给出的。在代数证法中，第53种是莱布尼茨给出的。卢米斯对迷上了证明过程的学生们敢于挑战，并尝试想出新证法的做法很是欣赏。他喜欢去发现有趣的人给出的有趣证明，或者对年轻的证法提供者加以奖励［15］。卢米斯认为有些人不尊重该学科，不同意这些人的看法。美国的几何学教科书因为略去了欧几里得的证法，也遭到卢米斯的嘲笑。他认为欧几里得的证法所体现的可能是“原创性或独立性”。他还挖苦说：“（几何学教科书中）没有欧几里得的证法就好比是哈姆雷特剧中没出现哈姆雷特的影子。”［16］他第二版的书中的最后一句话是“新的证法没有尽头”［17］。
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卢米斯是对的，新的证法的确层出不穷。在《吉尼斯世界纪录大全》（Guinness Book of World Records）网站上的“毕达哥拉斯定理的最新证法”一栏中显示的是一位发现了520种证法的希腊人。在此时，不知又有多少新的证法已经出现了。
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证明的奥妙是什么
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所有这些证法都引发了两个问题。第一个问题是：一种证法难道还不够吗？我们都知道一种用途是远远不够的——一个法则，最关键之处在于它能适用于各种不同的情形。但是证明呢？只有毕达哥拉斯定理的几个证明是对欧几里得已经证过的问题进行概括和充实。然而，卢米斯所收集的证法中的绝大部分都不是这种类型。而且这些证法也没有使这些已经很明确的结论变得更明确。但除了发现本身之外，证明的迷人之处还在于观察发现可能采用的视角。这样一来，那些隐藏的可能性和假定的结果就可以成为事实。科学的目的是使世界变得更加丰富，拓宽其外在表现形式，阐述世间事物的本质。随着科学的进步，世界的范围也在拓宽。
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第二个问题是：为什么人们会把注意力集中到这样 一个特殊的定理上？为什么几千年来它令业余爱好者和专家学者如此着迷？一部分原因归于个人的经历：毕达哥拉斯定理是大多数人第一次接触到的深刻证明，其结论在证明之前并不是显而易见的，正如霍布斯当时的情形。这是人们的第一次数学发现之旅，从另一头出发发现了崭新的事物。很早的时候，人们也发现了其他的一些漂亮的证明，例如2的平方根是无理数，素数有无限多个等，所以这只能是答案的一小部分。人们也知道一些与毕达哥拉斯定理类似，却更加高效、更加有用的定理（如欧几里得《几何原本》第6册中的命题31）。不过这些定义远没有毕达哥拉斯定理那般引人注目。一个明显的例子就是余弦定理：c2＝a2＋b2－2abcosθ。该定理适用于包括直角三角形在内的所有三角形，涉及三角形的两条边和一个角的余弦。毕达哥拉斯定理只是余弦定理的特例。然而，余弦定理没有什么迷人之处，部分原因可能是要证明它就得熟悉三角，所以很难想象霍布斯那样的人会因为这样一个定理就发生什么转变。
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要完整回答毕达哥拉斯定理的魅力得从三方面着手：定理的应用场合是显而易见的；定理的证明是可行的；证明定理的过程提升了人们思考问题的高度，让人们体会到了思考的乐趣。
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