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说明欧几里得《几何原本》中一个证明的经典图形
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任何一个伟大发现的背后，似乎都有一种难以抑制的冲动：去看看之前是否也有人提出了该发现，或者虽然发现了却没记录下来，或者是与发现擦肩而过。毕达哥拉斯定理（似乎我们注定要这么叫了）也不例外。历史学家发现，人们证明毕达哥拉斯定理的能力似乎是文明进步程度的一种标志。他们根据普林顿322、《绳法经》、《周髀算经》和其他资料，对巴比伦、印度和中国发现毕达哥拉斯定理的情况进行研究［11］。不过在研究过程中，很容易混淆或忽视毕达哥拉斯定理的经验法则和毕达哥拉斯定理的证明两者的不同。
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新证法
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人们有时候会自己踏上“旅程”，去发现毕达哥拉斯定理，而并不依靠教师的帮助。法国数学家和哲学家布莱斯·帕斯卡（Blaise Pascal）就是这样一个人。帕斯卡的父亲不允许他在家中讨论数学，怕会影响他的希腊语和拉丁语学习，认为语言的学习最重要。但小帕斯卡凭着一根炭笔就开始了几何学的研究。他在欧几里得《几何原本》中找到了许多证明，其中就有毕达哥拉斯定理［12］。
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发现定理的新证法是完全可能的。如果说在数学的诸多里程碑中，毕达哥拉斯定理所囊括的应用和实例范围是独一无二的，那么它的证明法之多也同样是独一无二的。大多数证明虽以相同的公理作为基础，但证明的过程却各有不同。这中间的许多证法，特别是苏格拉底、欧几里得等给出的最早的证明，以及之后《周髀算经》中给出的证明采用的都是几何方法。其中，a、b和c指的是三角形各边的边长。证明的方法是通过几何运算，得出面积之间的关系。其他证明采用的是代数法，以复杂的数学（数字代表抽象的事物，甚至可能是向量）为基础。有些所谓的证明，假定结果可以通过毕达哥拉斯定理得到证明，最终变成了循环论证。代数方法（巴比伦人理解该方法）产生了毕达哥拉斯定理的c2＝a2＋b2的形式。
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公元4世纪，希腊（亚历山大里亚的）几何学家帕普斯发现了一个定理，扩展了欧几里得几何。几个世纪之后，住在巴格达的阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉（Thabit Ibn Qurra，836—901年）提出了几个新的证法，并修改了先前的《几何原本》译本。两个半世纪之后，印度数学家婆什迦罗（出生于1114年）为《周髀算经》中证明方法的简洁所深深吸引。他随后采用简单的图形形式，对《几何原本》进行了修改。新版《几何原本》的证明里不再有文字解释，只有两个字“见图”。
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后来，意大利艺术家列奥纳多·达芬奇（Leonard da Vinci）、荷兰科学家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）和德国哲学家特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Leibniz，1646—1716年）都给出了新的证明。1876年，美国国会议员詹姆斯·加菲尔德（James Garfield）也给出了证明。他后来成为美国第20任总统。有关毕达哥拉斯定理证明的集子已有十多种：1779年，在巴黎出版了18种证明法；1880年，德国出现了提供46种证明法的专著；1914年，在荷兰出版了96种证明法。《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）是科学家一般都会关注的杂志，自1894年创办之日起第一期就开始刊登毕达哥拉斯定理的证明。该杂志略带些傲慢地提到：问题求解“是数学研究的最低级形式之一”，用于应用，却没有科学价值。但该杂志却“专门开辟版面用于问题求解”，诸如毕达哥拉斯定理之类，起到教育的作用。“问题求解是引导思维进入更高级的原创性研究领域的阶梯。许多原本智力平平的人在掌握了某一个问题求解后，跨入到研究的行列中。”［13］1901年，在发表了毕达哥拉斯定理的第100个证明之后，《美国数学月刊》的编辑放弃了，宣布“该定理的证法是无穷无尽的，本刊今后将不再接受此类稿件”。
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詹姆斯·加菲尔德给出的毕达哥拉斯定理证法的示意图
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但有一个人仍乐此不疲。这个人叫伊莱沙·卢米斯（Elisha S. Loomis），职业是教师。他是《美国数学月刊》的订户，也曾给出过一些证明。卢米斯一直都在收集定理的证法。这些证法很多都是由一些颇为聪颖的年轻人的老师转交给他的，这些教师知道卢米斯对此颇有兴趣。1927年，卢米斯（此时的他已是大学教授）出版了《毕达哥拉斯命题》一书，收集了230个证法；1940年，87岁的卢米斯又出版了该书的第二版，收集了370个证法［14］。他将两本书都献给了共济会分会。他依据证明的内容，把它们分为几何证法、代数证法、动态证法和四元数证法。其中的大部分都是几何证法：第31种证法是惠更斯给出的，第33种是欧几里得给出的，第46种是达芬奇给出的，第225种是婆什迦罗给出的，第231种是加菲尔德给出的，第243种是《周髀算经》给出的。在代数证法中，第53种是莱布尼茨给出的。卢米斯对迷上了证明过程的学生们敢于挑战，并尝试想出新证法的做法很是欣赏。他喜欢去发现有趣的人给出的有趣证明，或者对年轻的证法提供者加以奖励［15］。卢米斯认为有些人不尊重该学科，不同意这些人的看法。美国的几何学教科书因为略去了欧几里得的证法，也遭到卢米斯的嘲笑。他认为欧几里得的证法所体现的可能是“原创性或独立性”。他还挖苦说：“（几何学教科书中）没有欧几里得的证法就好比是哈姆雷特剧中没出现哈姆雷特的影子。”［16］他第二版的书中的最后一句话是“新的证法没有尽头”［17］。
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卢米斯是对的，新的证法的确层出不穷。在《吉尼斯世界纪录大全》（Guinness Book of World Records）网站上的“毕达哥拉斯定理的最新证法”一栏中显示的是一位发现了520种证法的希腊人。在此时，不知又有多少新的证法已经出现了。
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证明的奥妙是什么
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所有这些证法都引发了两个问题。第一个问题是：一种证法难道还不够吗？我们都知道一种用途是远远不够的——一个法则，最关键之处在于它能适用于各种不同的情形。但是证明呢？只有毕达哥拉斯定理的几个证明是对欧几里得已经证过的问题进行概括和充实。然而，卢米斯所收集的证法中的绝大部分都不是这种类型。而且这些证法也没有使这些已经很明确的结论变得更明确。但除了发现本身之外，证明的迷人之处还在于观察发现可能采用的视角。这样一来，那些隐藏的可能性和假定的结果就可以成为事实。科学的目的是使世界变得更加丰富，拓宽其外在表现形式，阐述世间事物的本质。随着科学的进步，世界的范围也在拓宽。
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第二个问题是：为什么人们会把注意力集中到这样 一个特殊的定理上？为什么几千年来它令业余爱好者和专家学者如此着迷？一部分原因归于个人的经历：毕达哥拉斯定理是大多数人第一次接触到的深刻证明，其结论在证明之前并不是显而易见的，正如霍布斯当时的情形。这是人们的第一次数学发现之旅，从另一头出发发现了崭新的事物。很早的时候，人们也发现了其他的一些漂亮的证明，例如2的平方根是无理数，素数有无限多个等，所以这只能是答案的一小部分。人们也知道一些与毕达哥拉斯定理类似，却更加高效、更加有用的定理（如欧几里得《几何原本》第6册中的命题31）。不过这些定义远没有毕达哥拉斯定理那般引人注目。一个明显的例子就是余弦定理：c2＝a2＋b2－2abcosθ。该定理适用于包括直角三角形在内的所有三角形，涉及三角形的两条边和一个角的余弦。毕达哥拉斯定理只是余弦定理的特例。然而，余弦定理没有什么迷人之处，部分原因可能是要证明它就得熟悉三角，所以很难想象霍布斯那样的人会因为这样一个定理就发生什么转变。
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要完整回答毕达哥拉斯定理的魅力得从三方面着手：定理的应用场合是显而易见的；定理的证明是可行的；证明定理的过程提升了人们思考问题的高度，让人们体会到了思考的乐趣。
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首先，毕达哥拉斯定理刻画了空间。它不仅适用于木工手艺、建筑学、物理学和天文学，也适用于几乎所有的职业领域和实际应用场合。在三维空间中，用毕达哥拉斯定理表示的距离表达式是，例如鞋盒的对角线；在四维的欧几里得空间中，距离的表达式是；采用爱因斯坦广义相对论的闵可夫斯基解释，四维时空版本的距离表达式是，其中c是光速。对上式进行适当变形，就能得出描述物体中分子三维运动情况的热力学方程。毕达哥拉斯定理还可用于广义和狭义相对论。狭义相对论用它描述观察者在某一参考系中观察另一参考系中光线传播的路径。广义相对论复杂一些，人们用它描述光线在弯曲的四维时空面上传播的情形。该定理在更高深的数学中得到进一步推广。伊莱·马奥尔（Eli Maor）在其所著的The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History［18］一书中称毕达哥拉斯定理是“数学中最常用的定理”。［19］这不仅是因为该定理有着直接的应用，也与马奥尔把它称为“毕达哥拉斯定理幽灵”有关。其他的许多表达式都是直接或间接由毕达哥拉斯定理推出来的。一个例子就是著名的“费马大定理”，最终于1994年证明。其内容是对大于2的任何整数n，方程an＝bn＋cn（所有变量都是正整数）均不能成立。该定理是否定性的，没有断言恒等关系的成立，所以无法用方程形式表示。
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其次，霍布斯的经历表明，即使毕达哥拉斯定理包含了一些在证明伊始看似难以置信的数学知识，人们也可以在没有接受过任何数学训练的情况下，用简单而又令人信服的方式加以证明。这也正是自柏拉图以来的哲学家和科学家将其作为推理典范的原因所在。在《世界体系》（On the World Systems）一书中，伽利略援引毕达哥拉斯的证法，解释了事实与证明之间的差别（现在称为发现与证实之间的差别）［20］。在《指导心灵的规则》（The Rules for the Direction of the Mind）一书中，法国哲学家、科学家雷内·笛卡儿（Rene Descartes）援引毕达哥拉斯定理，说明了采用符号和记号的好处，并把它们引入到了数学中。黑格尔认为“证明高于一切”。证明阐述了几何学的意义，使它以科学的方式继续发展。对黑格尔而言，就是如何表明相同之中有不同［21］。德国哲学家亚瑟·叔本华（Arthur Schopenhauer）是欧几里得证法的批评者之一。叔本华认为该证明具有典型性是有另外的原因的。他嘲笑这种证法就好像是“捕鼠器”，先是诱导读者，之后再给他们“下套”。他认为证明的逻辑性虽然没有问题，但是过于复杂，显得不够直观（叔本华本人喜欢直观的证明）。他认为欧几里得的证明就是一个典型的误导读者的例子。实际上，叔本华认为欧几里得给出的毕达哥拉斯定理的证法是违背 当时哲学观的一个典型，它过于强调纯粹的逻辑，把逻辑置于洞察力和后天直觉之上。在叔本华看来，黑格尔的哲学体系在概念上不过是一个巨大的捕鼠器［22］。
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再次，毕达哥拉斯定理让人们了解了发现的全部。人们在证明该定理的时候，可以说并没有“学到”什么东西，因为我们从小就知道毕达哥拉斯定理。但是当证明一步步地进行下去时（当人们把问题放在一个大背景下，当细枝末节相互因为必然整合到一起时），人们似乎离开了原地，去了另外一个地方。那里是一个比现在要古老得多的真理王国，不管人们身在何方，只要付出一点努力就能到达。在那里，直角三角形不再是特殊的，所有事物都是相同的，人们无需从头证明就能了解到这一点。三角形只是一个特例，在它的后面隐藏着别的事物。这种体验是愉悦的，甚至是令人兴奋和难忘的。证明是以先前未有的语言形式给出的问题答案。令人不可思议的是，这种语言在你感觉已掌握它的那一瞬间便出现了。如果没有那一刻的洞察力，毕达哥拉斯定理就仍然是代代相传的权威，而不能成为一个有深刻见解的证明。
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《美诺篇》（Meno）中的毕达哥拉斯定理
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毕达哥拉斯定理有如此之魅力的原因有三点。柏拉图在对话《美诺篇》中已经对这三点进行了明确的阐述。该书成于约公元前385年（毕达哥拉斯之后约100多年，几乎早于欧几里得的《几何原本》100年），是已知的最早、最有名和最复杂的叙述毕达哥拉斯定理证法的书。它第一次广泛地阐述了古希腊现存的数学知识。书中叙述了苏格拉底如何哄骗一个不懂数学的奴隶小孩证明毕达哥拉斯定理的一个特殊情形——等腰直角三角形。
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主要参与者是苏格拉底和美诺。美诺是一个英俊的塞萨利青年。他性格急躁，拒绝思考难以理解的想法，总是希望答案能令人印象深刻。对老师来说，这简直就是噩梦。在如何学习美德的问题上，美诺让苏格拉底极为苦恼。苏格拉底发现想让美诺思考是件很难的事，真是人如其名，他的名字的意思就是“不让步”或者“不回头”。“教育”一词字面上的意思是“出发”。苏格拉底发现自己没法引领美诺。
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